14. Традиционная силлогистика: язык, условия истинности категорических высказываний, понятие закона и правильного умозаключения в силлогистике

Силлогистики - логические теории, которые исследуют логические взаимосвязи между атрибутивными высказываниями (высказывания, в которых речь идет наличии или отсутствии свойств предметов).

Первая силлогистика была создана Аристотелем. Но их было несколько впоследствии. Есть разные типы силлогистик -различаются языковыми средствами (например, а некоторых единичные термины не рассматриваются; термины бывают положительные и отрицательные - в некоторых эти различия проводятся, а в некоторых нет; есть такие, в которых рассматриваются только ассерторические связки, а есть – где еще и модальные связки рассматриваются).

Традиционная силлогистика (С)(сложилась в новое время. Отлична от Аристотелевской, стала основой университетского курса логики).

В этой С исследуются взаимосвязи между ассерторическими атрибутивными высказываниями (категорические )

4 типа.

а – общеутвердительные (a)ff(i)rmo – утверждаю SaP – всякий S есть P

i - частноутвердительные SiP – некоторый S есть P

е – общеотрицательные n(e)g(o) – отрицаю SeP – ни один S не есть P

о – частноотрицательные Sop – некоторый S не есть Р

Термины 2-х типов – положительные и отрицательные

S – положительный. S¯ (S с чертой над ней)

┐- внешнее отрицание

Язык.

Нелогические термины: S, P, Q, M, S1....

Логические символы: а – всякий есть, i – некоторый есть, е – ни один не есть, о – некоторый не есть

Пропозициональные связки: ┐ (возможны &, v, >)

Термин – 1. Всякий положительный Т – термин

2. Если α – термин, то α¯ - термин

3. Ни что иное не является термином

Формула – 1. Если α и β – термины, то α a β, α i β, α е β, α о β – формулы

2. Если А – формула, то ┐А тоже формула

3. ничто иное не является формулой

Правила интерпретации нелогических символов. Нелогическим символам в качестве значений сопоставляются непустые подмножество некоторой универсальной области. Терминам сопоставляются непустые и не универсальные классы.

Придать точные значения нелогическим символам

1. Общие термины. Простым терминам в качестве значения сопоставляются непустые и неуниверсальные классы (α).

Отрицательным – в качестве значения сопоставляется дополнение к этому классу (α¯ )

2. Формулы. Значение формулы зависит от значений α и β

Отношения между двумя непустыми и неуниверсальными классами. 7 таких отношений. Круговые диаграммы. Фиксация различных отношений между двумя множествами.

1. α и β – совпадают

2. α и β - α строго включено в β

3. α и β - β строго включено в α

4. α и β – перекрещиваются

5. α и β – есть α, которые не входят в β и есть β, которые не входят в α, и нет таких объектов которые не входят ни туда ни сюда. Их объединение совпадает с универсумом.

6. α и β – нет общих элементов

7. α и β – нет общих элементов, но есть объекты, которые не входят ни в один из этих классов.

α a β – любой объект входящий в объем α входит так же и в объем β (т е истинно – 1 и 2)

α i β – существует, по крайней мере, один объект из α, который входит в β (истинно – с 1 по 5, 6 и 7 – ложны)

α е β – ни один объект из α не сходит в β (1-5 – ложь, 6 и 7 - истина)

α о β – существует, по крайней мере, один объект из α, который не входит в β (истинно – с 3 по 7, 1 и 2 – ложны)

Логический закон – формула принимает значение истина при любой интерпретации входящих в нее общих терминов, то есть на любой модельной схеме.

Примеры законов: SaS SiS SeS¯

и и и

Логические отношения:

Фундаментальные отношения (во всех теориях):

Совместимость по истинности. Формулы А1, А2, … Аn совместимы по истинности ≡ существует модельная схема, на которой каждая из этих формул принимает значение истина.

Совместимость по ложности. Формулы А1, А2, … Аn совместимы по ложности ≡ существует модельная схема, на которой каждая из этих формул принимает значение ложь.

Логическое следование. Из формул А1, А2, … Аn |= B ≡ не существует модельной схемы, на которой формулы А1, А2, … Аn принимают значение истина, а В – значение ложь. (Трактовка в утвердительном ключе. На всех модельных схемах формулы А1, А2, … Аn принимают значение истина, и В тоже принимает значение истина).

Умозаключение правильно, когда из посылок следует заключение.

2 типа умозаключений в силлогистике:

1. Непосредственные – одна посылка.

2. Опосредованные – из двух или более посылок.