1. Логика отношения эквивалентности

(знак отношения эквивалентности – это знак = а сверху еще одна волнистая линия, здесь обозначу этот знак так ≈ )

Язык. Добавляется к дедуктивным постулатам аксиомы:

1. Рефлексивности Vα (α ≈ α)

2. Симметричность VαVβ (α ≈β > β ≈ α)

3. VαVβVγ ((α ≈β & β ≈ γ) > α ≈ γ) (например, родиться в одном и том же году)

Равенство тоже этим свойством обладает (но равенство еще обладает свойством взаимозаменимости)

2. Отношение частичного порядка

В язык вводится предикатор ≤

Присоединяется еще 3 схемы аксиом:

1. Vα (α ≤ α) – рефлексивность

2. VαVβVγ ((α ≤β & β ≤ γ) > α ≤ γ) – транзитивность

3. Антисимметричность VαVβ ((α ≤β & β ≤ α) > α = β)

3. Отношение строгого порядка

В язык вводится <

1. Антирефлексивность Vα ┐ (α < α)

2. Транзитивность VαVβVγ ((α <β & β <γ) > α < γ)

Примеры: <, старше

4. Отношение строгого линейного порядка

В язык вводится <

1. Антирефлексивность Vα ┐ (α < α)

2. Транзитивность VαVβVγ ((α <β & β <γ) > α < γ)

3. VαVβ (α<β v β<γ v α=β)

Формальная арифметика (Пеано)

Исходные термины: имя 0

Вводятся знаки предметных функций (один одноместный и 2 двухместных):

' – прибавление 1 к числу

+

·

Выделенный предикатор =

Дефиниции: 1 ≡Df 0'

2 ≡Df 1'

Постулаты (аксиомы):

х1=х2 > x'1=x'2

┐(0= x')

x'1=x'2 > х1=х2

x+0=x

x1+x'2 = (x1+x2)'

x · 0 = 0

x1 · x'2 = (x1 · x2) + x1

A(0) > (Vx (A(x)>A(x')) > Vx A(x))

В этой теории можно доказать очень много теорем. Но не все арифметические истины доказуемы в этой теории. Гедель – о неполноте арифметики. Класс истин в арифметике невозможно формализовать.

Логика точными методами может указать свои собственные границы.

Первый порядок – квантификация только предметных переменных.

Но в языке часто говорится о свойствах, об отношениях между свойствами. ---- Логика предикатов второго порядка

13. Логика предикатов второго порядка

Квантификация по свойствам и по отношениям между индивидами и по предметным функциям.

В старый язык вводятся новые переменные.

Вводятся предикаторные переменные и предметно-функциональные переменные.

Pⁿ Qⁿ Rⁿ fⁿ gⁿ kⁿ

Определение терма и формулы, их изменения.

Терм:

1. Терм – любая предметная константа

2. любая предметная переменная

3. Фⁿ (t1, t2,...tn) если, t1, t2,...tn – термы, Ф^{n -} или n-местная предметно-функциональная константа (как и раньше) или n-местная предметно-функциональная переменная.

Формула:

1. Пⁿ (t1, t2,...tn). Пⁿ - не только предикаторная константа, но может быть предикаторной переменной.

2. Если А – формула, а α – предметная переменная, то VαA и ЕαA – формулы. Теперь α может быть не только предметной, но и предикаторной и предметно-функциональной переменной.

Т е квантифицировать теперь можно не только предметы, но и свойства и отношения и предметные функции.

а – Земля

b – Марс

P¹ - свойство

Е P¹ (P¹ (а) & P¹(b))

Медь обладает всеми свойствами, присущими любому металлу (R)

V P (Vx ( R(x) > P (x)) > P (a))

Теория:

Понятие модели сохраняется <U,I>

φ: φ (α) ( U

φ (Пⁿ) ( Uⁿ

φ (Фⁿ) есть функция Uⁿ U

Приписывание значения переменным: |Фⁿ (t1,t2,...tn) |φ = [ I(Фⁿ)] ( |t1| _φ,|t2| _{φ, ....}|tn| _φ) – если Ф – предметная-функц. константа

- //---// --- // φ (Фⁿ) ---//----// - если Ф – предметно-функц. переменная

Значения формул.

|Пⁿ (t1, t2,...tn)|φ = и ↔ <|t1| _φ,|t2| _{φ, ....}|tn| _φ> ( I (Пⁿ), если Пⁿ - предикаторная константа

-----//------------------//----------------// --------- φ (Пⁿ), если Пⁿ – предикаторная переменная

Все остальные понятия остаются прежними.

Эта теория не обладает свойством семантической полноты.

Символ равенства не обязательно вводить в язык его можно определить:

t1=t2 ≡Df V P (P (t1) ≡ P (t2) (тождественность неразличимых (Лейбниц))

Эту теорию тоже можно расширять. Можно вводить признаки признаков (предикаторы от предикаторов): свойства свойств, свойства отношений, отношения между свойствами. Получается ступенчатое исчисление. И так далее – логика третьего порядка.

Рассел. Теория типов.

В рамках логической теории можно определить число. Натуральные числа трактуются как свойства свойств.

0 (P) ≡Df ┐Ех P (х)

1 (P ) ≡Df Е!х P (х)

2 (P)≡Df ЕхЕy (┐(x=y) & P (x) & P (y) & Vz (P (z) > (z=x v z=y)))