11. Метатеоретические свойства классического исчисления предикатов первого порядка

????????Свойства исчисления предикатов (аксиоматического исчисления предикатов: + - обладает этим свойством, - - не обладает).

+1. Характеристика с точки зрения семантики

Свойства семантической непротиворечивости: V˚A (S|--A >˚ T |= A)

Все теоремы классического исчисления предикатов общезначимы. Надо показать, что все аксиомы общезначимы и правила вывода сохраняют общезначимость (т е если их применить к общезначимым формулам, то в рез-те получится тоже общезначимая формула).

+2. Свойство семантической полноты: V˚A (T |= A >˚S|--A)

Если любая общезначимая формула доказуема в этом исчислении.

Если исчисление двумя этими свойствами обладает (а оно ими обладает), то исчисление предикатов адекватно формализует классическую логику предикатов.

+3. Синтаксическая непротиворечивость: ┐˚ E˚(S |--A &˚ S |-- ┐A). Доказывается так же, как и в классическом исчислении высказываний (см. вопрос 5).

- 4. Свойство синтаксической полноты (или максимальности): V˚A (S |-/-A >˚ E˚ B ( S+A |-- B &˚ S+A |-- ┐B).

Этим свойством исчисление предикатов не обладает. Т. е. есть возможность расширения исчисления предикатов за счет утверждений не являющихся логическими законами (например, законы какой-то научной теории). Значит, на основе этого исчисления можно строить прикладные конкретные теории (см. вопрос 12).

- 5. Разрешимость. Исчисление называется разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий в конечное число шагов для любой формулы языка установить, является ли она теоремой исчисления или нет.

Исчисление предикатов неразрешимо.

В частных случаях логики предикатов это свойство есть. 1). Логика одноместных предикатов разрешима. (Логика одноместных предикатов – если разрешить использовать в языке только одноместные предикаты и запретить использование многоместных. Т. е. только анализ свойств). 2). Логика предикатов. Понятие модели <U,I> U – непустое. Можно сузить класс моделей – рассматривать только такие модели в которых универсум имеет конечное число объектов. В этом случае существует эффективное решение вопроса о том яв-ся ли формула общезначимой или нет.

Кванторы могут быть устранены

U = {a1, a2, ... an}

V α A ≡ A(a1) & А(а2) …. А(аn)

E α A ≡ A(a1) v A(a2) .... A (an)

12. Логика предикатов с равенством. Прикладные первопорядковые теории.

Введение а язык константы равенства ( = )

Пр. Среди студентов нашей группы только Петр является отличником

Р(а) & S(a) & V ((S(x) & ┐(x=a)) > ┐P(x))

Волга длиннее всех других европейских рек.

Vx (S(x) >R2(a,x))

Vx (S(x) & ┐(x=a))>R2(a,x))

Равенство как тождество объектов

Логику предикатов можно расширить за счет введения равенства

Классическая логика предикатов первого порядка с равенством

В алфавит добавляется предикатор = (двухместная предикаторная константа)

В понятии формулы: добавляется еще одна атомарная формула t1=t2

I(=) – функция должна приписать множество пар объектов, где первая и вторая компонента совпадают.

I(=) =˚{<d,d>: d ( U}

|t1=t2|φ =˚ и ↔ |t1| φ =˚ |t2| φ

Все остальные отношение между формулами те же.

Исчисление для этой теории тоже строится как расширение. Добавляются 2 новые схемы аксиом

Vα (α=α) – Отношение равенства рефлексивно

Vα Vβ((α=β) > (A (α)>A(β)) – закон замены равного равным. A (α) – некоторая формула содержащая α в качестве свободной переменной. A(β) – результат замены некоторого числа свободных вхождений переменной α в формулу A (α) на переменную β, причем замещаемые вхождения α не находятся в области действия квантора по β. Чтобы не возникало новых связанных вхождений.

Можно показать семантическую непротиворечивость и полноту.

Теоремы:

t1=t2 (рефлексивное отношение)

t1=t2 > t2=t1 (симметричное отношение)

(t1=t2& t2=t3) > t1=t3 (транзитивное отношение)

t1=t2 > (A(t1) ≡ A(t2)) (принцип взаимозаменимости, экстенсиональности). Есть некоторые ограничения. Если терм замкнут – ограничений нет. Если там содержатся некие переменные, то ограничения есть: 1) Замещаемые вхождения t1 не содержат связанных вхождений переменных. 2) Замещаемые вхождения t1 не находятся в области действия кванторов по переменным входящим в терм t2, т е после замены не должно появиться новых связанных вхождений.

Можно ввести квантор – существует единственный

Е! α А(α) ≡Df Еα (А (α) & Vβ (A(β) > α = β ))

Прикладные первопорядковые теории

Классическое исчисление предикатов можно непротиворечиво расширять.

Логику предикатов можно использовать как основу для построения конкретных теорий. Можем в язык вместо абстрактных параметров (констант) вводить конкретные нелогические термины, термины конкретной науки, конкретные предикаторы (быть четным, быть городом, государством, горой), конкретных предметных функций. В остальном структура языка остается той же.

Расстояние от Москвы до Петербурга больше, чем расстояние от Москвы до Одессы.

Больше (расстояние (М, П), расстояние(М, О))

Эверест – самая высокая гора

Vx (Гора (x) & ┐(x=Эверест))>выше (Эверест, х))

Можем добавить конкретные аксиомы и формулы, которые описывают конкретные закономерности соответствующей предметной области.

Теории, которые получаются за счет введения в язык конкретных знаков отношений (Логики отношений)