9. Аксиоматическое исчисление предикатов: схемы аксиом, и правила вывода, понятие доказательства, вывода и теоремы

Дедуктивные постулаты: аксиомы и правила вывода.

Аксиомы – формулы языка, которые постулируются в качестве законов .

Правила вывода – из одниз формул выводить другие.

Все постулаты исчисления высказываний сохраняются, но добавляются еще новые аксиомы и правила.

Два способа построения – 1. с конечным числом аксиом и правилами подстановки (в исчисл выск – одно такое правило)

2. с бесконечным числом аксиом и правилом mp. Со схемами аксиом.

Исчисление предикатов со схемами аксиом.

Язык.

Пропозиц перем - &, v, >, ┐, V – только один квантор

Квантор существования может быть введен по определению: EαA ≡Df ┐Vα ┐A

В качестве исходных можно выбрать разные наборы схем аксиом. Возьмем такой: 12 схем аксиом и 2 правила вывода.

А1 – А10 – уже известны, но вместо А и В подставляются формулы языка логики предикатов. А11, А12 – новые: удаление V и пронесение V через > .

Схемы аксиом (A1 – A12):

1. А>(B>A) – схема консеквента

2. (A>(B>C)) >((A>B)>(A>C)) - схема самодистрибутивности

3. A>(B>(A&B)) - схема введения &

4. (A&B)>A - 1-ая схема исключения &

5. (A&B)>B - 2-ая схема исключения &

6. A > (AvB) - 1-ая схема введения v

7. B > (AvB) - 2-ая схема введения v

8. (A>B)> (┐A > B) – схема исключения v

9. (A>B) > ((A>┐B)> ┐A) - схема введения ┐

10. ┐┐A > A - схема исключения ┐

11. VαA > A(t) - схема исключения V

12. Vα (A>B)>(A> VαB) - схема пронсения V через >

Правила вывода:

R1 A>B, A

B

R2 A

VαA (правило генерализации)

Если R2 применять к закону, то в рез-те получается закон. Если оно применяется не к закону, то на него накладываются ограничения. (Зависимость формул вывода от допущений. Каждое допущение зависит от самого себя. Аксиомы не зависят от допущений).

Доказательство – непустая конечная последовательность формул, такая что каждая формула этой последовательности есть или аксиома, или ф-ла полученная по правилу mp, или полученная по правилу генерализации.

Доказательство ф-лы А – док-во, последней формулой которого является А.

Теорема (закон) – ф-ла, для которой существует доказательство.

Вывод из Г – непустая конечная последовательность формул такая что каждая Сi есть – либо допущение из Г, либо аксиома, либо ф-ла полученная в рез-те применения R1, либо ф-ла полученная в рез-те применения R2 (ограничение: ф-ла VαA может быть получена из А (по R2), зависящей от множества допущений ∆ в том случае, когда α не содержится свободно ни в одной формуле из ∆, ни в одном допущении из ∆.

Отношение выводимости. Г|--B. Ф-ла В выводима из множества допущений Г ≡ существует вывод из множества допущений Г, последней формулой которого является В.

10. Натуральное исчисление предикатов: правила вывода, понятия вывода, завершенного вывода и доказательства.

Логические системы можно строить исключительно языковыми средствами, т е чисто синтаксически. Эти системы – исчисления.

Исчисления: 1. Задается язык. Здесь – язык классической логики предикатов.

2. Задаются дедуктивные постулаты. Правила вывода (в натуральном исчислении высказываний, только А и В – ф-лы языка логики предикатов) + еще 4 правила

Введение Исключение

А, В А&В А&В

А&В А В

А В АvВ, ┐А

АvВ АvВ В

В А >В, А , где С – последнее из неисключенных допущений

С>В В

В, ┐В ┐┐А , где С – последнее из неисключенных допущений

┐С А

А (β) Vα A (α)

Vα A (α) , где А (β) –результат правильной А(t) , где t – терм, А(t) – рез-т прав подстановки терма t вместо

подстановки переменной β вместо переменной α переменной α в А(α)

в подкванторное выражение;

β – абсолютно ограничена (а.о.)

β – ограничивает все свободные переменные

в Vα A (α).

А(t) ЕαA(α)

ЕαA(α) А (β) , β – абсолютно ограничена (а.о.)

β – ограничивает все свободные переменные в Vα A (α).

Понятие вывода. Старое понятие (см. 1 вопрос) + еще два пункта:

1. Никакая переменная не может быть а.о. в выводе более одного раза

2. Никакая переменная не ограничивает в выводе саму себя

(Общий смысл этих условий – не допустить доказательство того, что недоказуемо)

Завершенный вывод – вывод формулы В из множества допущений Г называется завершенным ≡ никакая а. о. в этом выводе переменная не является свободной ни в допущениях из Г ни в формуле В.

Доказательство ф-лы А есть завешенный вывод формулы А из пустого множества допущения. А в этом случае называют теоремой или доказуемой формулой (|--A)