8. Аналитико-табличный метод в логике предикатов

Это некая стандартизация рассуждения от противного, оформленного в виде таблицы. Для обоснования тезисов – общезначимость, невыполнимость, следование, несовместимость по и, несовместимость по л.

Метод от противного – допускаем что тезис не верен, и показываем, что допущение не верно, следовательно, верен тезис.

Аналитическая таблица состоит из строк – конфигураций. В строках содержатся списки формул, один или несколько списков формул. Первая строка содержит один список формул – антитезис.

1. Доказать, что формула А – общезначима. Антитезис - ┐А.

2. Доказать, что ф-ла А – невыполнима, т е ложна во всех моделях. Антитезис – А.

3. Доказать логическое следование. A1,A2,…An |= B. Антитезис – предполагаем, что следования нет (т е найдется такая модель, где A1,A2,…An – истинные, а В – ложная). A1,A2,…An – в первую строку таблицы пишем без отрицания, а В с отрицанием.

4. Несовместимость по истинности (т е не существует модели, где каждая из формул оказалась бы истинной). Антитезис – есть модель, где A1,A2,…An – истинные. Антитезис - A1,A2,…An

5. Несовместимость по ложности (т е не существует модели, где каждая из формул оказалась бы ложной). Антитезис - ┐A1, ┐A2,… ┐An

Переход к следующим строкам таблицы осуществляется по правилам редукции (сведение к простому). В основе этих правил лежат условия истинности и ложности формул. При переходе к следующим строкам какой-то из списков формул заменяется на другой список или несколько списков.

Правила редукции:

[&] Г, А&В, ∆ [┐&] Г, ┐(А&В), ∆

Г, А, В, ∆ Г, ┐А, ∆ | Г, ┐B, ∆

[v] Г, А v В, ∆ [┐v] Г, ┐(А v В), ∆

Г, А, ∆ | Г, А, ∆ Г, ┐А, ┐В, ∆

[>] Г, А>В, ∆ [┐>] Г, ┐(А>В), ∆

Г, ┐A, ∆ | Г, В, ∆ Г, А, ┐В , ∆

[┐┐] Г, ┐┐А, ∆

Г, А, ∆

[V] Г, VαA, ∆ [┐V] Г, ┐VαA, ∆

Г, VαA, А(t), ∆ Г, ┐ А(k), ∆

[E] Г, Е α А ,∆ [┐E] Г, ┐Е α А, ∆

Г, А(k), ∆ Г, ┐ Е α А, ┐А(t), ∆

Цель – получить замкнутый список формул – т е содержащий А и ┐А (в каждом формульном списке, т е с необходимостью прийти к противоречию).

Конфигурация (строка таблицы) – это непустое множество формульных списков

Аналитическая таблица – это последовательность конфигураций такая, что каждая последующая конфигурация получена из предыдущей заменой какого-либо формульного списка в соответствии с некоторым правилом редукции

Замкнутый список формул - т е содержащий А и ┐А

Конфигурация замкнута – если все формульные списки в ее составе замкнуты

Аналитическая таблица замкнута – если она содержит конечное число конфигураций и последняя конфигурация замкнута.

Критерии общезначимости, невыполнимости, следования, несовместимости по и, несовместимости по л.

Ф-ла А общезначима ≡ существует замкнутая аналитическая таблица, первая конфигурация которой содержит единственный формульный список - ┐А.

Ф-ла А невыполнима ≡ существует замкнутая аналитическая таблица, первая конфигурация которой содержит единственный формульный список - А

Из ф-л A1,A2,…An |= В ≡ существует замкнутая аналитическая таблица, первая конфигурация которой содержит единственный формульный список - A1,A2,…An, ┐В

Ф-лы A1,A2,…An совместимы по истинности ≡ существует замкнутая аналитическая таблица, первая конфигурация которой содержит единственный формульный список - A1,A2,…An

Ф-лы A1,A2,…An совместимы по ложности ≡ существует замкнутая аналитическая таблица, первая конфигурация которой содержит единственный формульный список - ┐A1, ┐A2,… ┐An