4. Семантическая непротиворечивость и полнота, разрешимость исчисления высказываний

Доказательство семантической непротиворечивости.

В качестве S рассмотрим аксиоматическое классическое исчисление высказываний со схемами аксиом и правилом вывода modus ponens. В качестве Т – семантическая теория (классическая логика высказываний).

Доказать: что аксиоматическое классическое исчисление высказываний является семантически непротиворечивым относительно классически построенной логики высказываний. Т. е. если формула языка логики высказываний доказуема в исчислении, то она тождественно-истинна

+1. |-- A (антецедент V˚A(S|--A >˚ T |= A) )

2. Существует доказательство формулы А

3. Доказуемая формула, это формула, для которой существует доказательство. Доказательство формулы А:

С1

С2

:

Сi ( либо одна из аксиом, либо формула полученная по правилу mp)

:

Сn = A

Нам надо доказать, что А – тождественно-истинна. Докажем, что все формулы тожд-ист, а если все тожд-ист, то и А – тожд-ист. Используем метод возвратной индукции. Этот метод используется, когда надо доказать утверждение общего характера, утверждение о том, что все предметы какого-то класса обладают каким-то свойством. Здесь – что все формулы из списка обладают каким-то свойством.

1. Выбирается параметр индукции (это функция, которая каждому элементу исходного множества ставит в соответствие какое-то натуральное число). В нашем случае: параметр – номер формулы в составе доказательства (каждый объект, т е формула, такой характеристикой обладает, т е имеет номер)

2. Доказывается индуктивный переход. Принимается индуктивное допущение о том, что все объекты, характеризующиеся натуральным числом меньшим, чем i, уже интересующим нас свойством обладают. В нашем случае – допускаем, что все формулы, которые имеют номер меньше, чем i, тождественно-истинны. Из этого допущения надо получить, что и i-тый объект тоже тождественно-истинен.

+4. V˚j ( j<i >˚ |= Ci)

5. Теперь надо получить утверждение, что Сi тожд-ист, а Сi может быть:

а) Аксиомой. Надо все аксиомы проверить (таблица истинности), что все они тожд-ист

б) формулой, полученной из предыдущих по правилу mp. А предыдущие формулы по индуктивному допущению тожд-ист. Значит надо показать, что если это правило применяется к тожд-ист формулам, в результате получается тоже тож-ист формула.

6. ( |=Сj > Ci &˚ |= Cj ) >˚ |= Ci (т е если значима импликация и общезначим ее антецедент, то общезначим и ее консеквент). Это надо доказать:

Дано: |= Cj > Ci

|= Cj

|= Ci

Доказательство:

Сj Ci

и и

и л (т к |= Cj > Ci) этого варианта не может быть

л и (т к |= Cj )

л л (т к |= Cj )

7. Cj > Ci находится раньше формулы Ci, а значит она подпадает под индуктивное допущение. Сj тоже раньше и тоже подпадает под индуктивное допущение (из 3 и 4)

|= Cj > Ci &˚ |= Cj

8. |= Ci (по правилу исключения импликации из 7)

4-8 – метод возвратной индукции

9. V˚i |= Ci (по принципу математической индукции)

10. |= Cn (из 9)

11. |= A (из 10 из 3)

12. |-- A >˚ |= A (т е если А доказуема, то она тожд-ист)

А – произвольная формула, следовательно V˚ A (|--A >˚ |= A)

(исключаются пункты с 4 по 7 и с 1 по 11)

Свойство разрешимости. Исчисление разрешимо, если существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая в конечное число шагов, для произвольной формулы языка, решить вопрос о том, доказуема эта формула в исчислении или не доказуема.

Классическое исчисление высказываний – разрешимо.

Надо показать, что для любой формулы есть процедура, которая позволяет в конечное число шагов ответить, является формула доказуемой или не является.

Исчисление высказываний семантически непротиворечиво и семантически полно. Это значит, что множество теорем совпадает с множеством тождественно-истинных формул. Поэтому вопрос о том, является ли формула теоремой, равносилен вопросу о том, является ли формула тождественно- истинной. Таблица истинности.

Всякая формула имеет конечную длину, значит в каждой формуле есть конечное число переменных. Число строк в таблице вычисляется по формуле 2ⁿ , где n – число переменных. Значит число подформул конечно, число строк в таблице конечно, число столбиков в таблице конечно, значит построение таблицы осуществляется в конечное число шагов. Два варианта: либо во всех строчках в результирующем столбце будет «истина», либо хотя бы в одной «ложь». Следовательно, доказуема формула или нет.