2. Доказательство метатеоремы о синтаксической полноте исчисления высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки.

Классическое исчисление высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки обладает свойством синтаксической полноты.

Доказательство вспомогательного допущения, леммы.

Дано: Формула А – произвольная формула языка логики высказываний. Пусть она содержит переменные: γ1, γ 2, …γn. И произвольный набор значений этих переменных α1, α2, …αn. Осуществим подстановку в формулу А:

вместо γi (итой переменной) будем подставлять или: γi v ┐ γi , если αi = и

или: γi & ┐ γi, если αi=л

В результате подстановки получаем формулу А*

Лемма: Если на данном наборе значений А принимает значение истина, то А* - тождественно-истинна (т.и.). Если А – ложь, то А* - тождественно-ложна (т.л.).

* - операция над формулой, процедура подстановки.

Доказательство:

5 типов формул.

А*: γi* = или γi v ┐ γi , если αi = и

или: γi & ┐ γi, если αi=л

(┐ В)* = ┐ В* (преобразовать В, а перед результатом поставить ┐)

(В&С)* = В* & C*

(BvC)* = B* v C*

(B>C)* = B* > C*

Лемма доказывается при помощи метода возвратной математический индукции:

1. Выбирается параметр индукции (такая функциональная характеристика объектов составляющих область, относительно которой ведется доказательство). Здесь – число пропозициональных связок в формуле А.

2. Принимается индуктивное допущение. Выбираем формулу с определенным числом связок и допускаем, что для всех формул, у которых число связок меньше чем у А, утверждение леммы верно.

Разбор случаев.

1. А – пропозициональная переменная. γi содержит переменную γi.

γi = и γi* = γi v ┐ γi т. и.

γi = л γi * = γi & ┐ γi т. л.

2. А = ┐В

┐В В (индукт. допущ.) В* ┐В* = (┐В)* = А*

и л т.л. т.и. т.и.

л и т.и. т.л. т.л.

3. А = В & С В С (индукт. допущ.) В* С* В*&С* = (В&С)* = А*

и и и т.и. т.и. т.и. т.и.

л л или л т.л. или т.л. т.л. т.л.

4. А = В v С В С (индукт. допущ.) В* С* В* v C* = (В* v С*) = А*

и и или и т.и или т.и. т.и. т.и.

л л и л т.л. и т.л. т.л. т.л

5. А = В > C В С (индукт. допущ.) В* С* В* >С* = (В > С)* = А*

и л или и т.л. или т.и. т.и. т.и.

л и и л т.и. и т.л. т.л. т.л.

Доказательство теоремы см. вопрос 5. Лемма в 6 пункте доказательства.