20. Проверка силлогизма с использованием круговых диаграмм. Энтимема и метод ее проверки.
Умозаключение правильно, если есть логическое следование.
Логическое следование. На всех модельных схемах формулы А1, А2, … Аn принимают значение истина, и В тоже принимает значение истина.
Надо выделить все круговые схемы, на которых посылки истинны.
Метод удобен для демонстрации некорректности силлогизма (найти хотя бы одну модельную схему, где и и и |= л)
Другой метод проверки – перевести в язык логики предикатов и проверить:
S a P – Vx (S(x) > P(x))
S i P – Ex (S(x) & P(x))
S e P – Vx (S(x) > ┐P(x))
S o P – Ex (S(x) & ┐P(x))
Сделав перевод, надо сделать допущения о непустоте (ExS(x)) и неуниверсаньности (Ex┐S(x)), для всех терминов.
Энтимема – простой категорический силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение.
Проверка энтимем:
1. Установить, что пропущено
2. Какая посылка пропущена (меньшая или большая) или заключение.
3. Восстановить пропущенное суждение так, чтобы получился правильный силлогизм.
Если энтимема не восстанавливается в правильный силлогизм – она логически некорректна.
4. Оценить восстановленное высказывание – истинно оно или ложно.
Если энтимема восстанавливается в правильный силлогизм – она корректна, но если восстановленное высказывание ложно, то она корректна логически, но некорректна прагматически.
НА «ОТЛИЧНО»
1. Доказательство метатеоремы о семантической полноте исчисления высказываний.
Любая тождественно-истинная формула доказуема в исчислении высказываний.
Лемма: Пусть формула А – произвольная формула языка логики высказывании. Пусть она содержит переменные: р1, р2, …рn. Рассмотрим произвольный набор значений этих переменных α1, α2, …αn.
Пусть pi' = pi, если αi = и
┐рi, если αi = л
А' = А, если α = и
┐А, если α = л
Доказать, что из р1', р2', … рn' |-- A '.
Доказательство: методом возвратной индукции. Параметр – число пропозициональных связок в формуле А (m). Для всех формул, где число связок меньше чем m, т е меньше чем у формулы А, то для них верно утверждение леммы.
Разбор случаев.
1. А = рi
и рi' = pi' A' = A = pi pi |-- pi 1.pi (доп.)
л рi' = ┐pi' A' = ┐A =┐ pi ┐ pi |-- ┐ pi 1. ┐pi (доп.)
2. А = ┐В В (индукт. допущ.) р1', р2', … рn' |-- В ' А' = А = ┐В
и л р1', р2', … рn' |-- ┐В
л и В' = В А' = ┐А = ┐┐В р1', р2', … рn' |-- В ' = В
р1', р2', … рn' |-- А ' = ┐┐В
В |-- ┐┐В 1.B
+2. ┐В
3. ┐┐В
3. А = В & C В С В' = В С' = С А ' = А = В & C
и и и и по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- В ' = В
р1', р2', … рn' |-- С ' = С
р1', р2', … рn' |-- А ' = В & C
л В В' = ┐В А' = ┐А А' = ┐А = ┐(В & C) по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- ┐В
л
р1', р2', …
рn'
|-- ┐(В&C)
┐В |-- ┐(В&C)
1. ┐В
+ 2. В&C
3. В
4. ┐(В&C)
С С' = ┐С А' = ┐А А' = ┐А = ┐(В & C) по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- ┐С
л р1', р2', … рn' |-- ┐(В&C)
┐С |-- ┐(В&C)
4. А = В v C
и В
В' = В А' = А = В v
C
по индукт. допущ. : р1',
р2', … рn'
|-- B
и р1', р2', … рn' |-- B v C
С C' = C A' = A = B v C по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- C
и р1', р2', … рn' |-- B v C
л В С В' = ┐В С' = ┐С А' = ┐А = ┐(В & C) по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- ┐В
л и л р1', р2', … рn' |-- ┐С
р1', р2', … рn' |-- ┐(В v C)
┐В, ┐С |-- ┐(В v C)
5. A = B > C
и В
В' = ┐В А' = А = В > C
по индукт. допущ. : р1',
р2', … рn'
|-- ┐В
л р1', р2', … рn' |-- В > C
┐В |-- В > C
С C' = C А' = А = В > C по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- ┐С
и р1', р2', … рn' |-- В > C
┐С |-- В > C
л В С В' = В С' = С┐ А' = ┐А = ┐(В > C) по индукт. допущ. : р1', р2', … рn' |-- В
и и л р1', р2', … рn' |-- ┐С
р1', р2', … рn' |-- ┐(В > C)
В, ┐С |-- ┐(В > C)
Теорема. V˚A ( |= A >˚ |--A)
Допускаем, что |= A, показать что эта формула доказуема.
Во всех строках таблицы эта формула – истинна. А' = А. А' всегда совпадает с А
В соответствии с леммой из любой комбинации переменных и отрицаний переменных, входящих в А, будет выводиться сама формула А
р1, р2, … рn |-- А
р1, р2, … ┐рn |-- А
Теорема дедукции позволяет последнюю формулу выносить за знак выводимости и подписывать ее с импликацией:
р1, р2, … рn-1 |-- pn > А
р1, р2, … рn-1 |-- ┐pn > А
pn > A, ┐pn > A |-- A
C >A, ┐C > A |--A
1. C >A
2. ┐C > A
+3. ┐A
+4. C
5. A (исключение > : 1,4)
6. ┐C (введение ┐: 3,5)
7. А (исключение > : 2,6)
8. ┐┐А (введение ┐: 3, 7)
9. А (исключение ┐: 8)
Исключаются пункты 4 и 5; и с 3 по 8.
pn > A, ┐pn > A |-- A
р1, р2, … рn-1 |-- А
р1, р2, …┐рn-1 |-- А
р1, р2, … рn-2 |-- рn-1 > А
р1, р2, … ┐рn-2 |-- рn-1 > А
Уменьшая количество формул слева приходим к тому, что |-- А