Условные обозначения (отдаленно напоминающие реальные):

& (конъюнкция)

v (дизъюнкция)

> (импликация)

┐ (отрицание)

≡ (эквиваленция)

|-- (выводимость, доказуемость), зачеркнутый знак |-/-

|= (следование, общезначимость), зачеркнутый знак |=/=

V (квантор всеобщности)

Е (квантор существования)

Все выше перечисленное с такой вот штучкой ˚ - метаязыковые выражения (например, &˚- конъюнкция в метаязыке)

↔ (метаязыковая эквиваленция)

( (принадлежит)

( (подмножество)

1. Натуральные исчисления высказываний: правила вывода, понятия вывода, доказательства, теоремы.

Существуют 2 способа построения логической системы:

• Семантический (логические теории)

• Синтаксический (исчисления)

Типы исчислений: 1. Аксиоматические. Исходные дедуктивные постулаты – аксиомы и правила вывода.

2. Натуральные исчисления. (Естественные) задача – моделировать естеств способы рассуждения + моделирование естеств корректных рассуждений. Процедура поиска вывода – проще. Формальные отличия от аксиоматических – нет аксиом. В качестве дедуктивных постулатов только правила вывода!

Правила вывода бывают 2 типов: прямы и непрямые:

Прямые – правила позволяющие переходить от одной или нескольких формул определ типа к формулам опред типа А1,А2,А2

В

Непрямые – от утверждения о выводимости перейти к утверждения другой выводимости

Г, А |-- В

Г |-- А > В

Существуют 3 типа натуральных систем: 1. Исчисления, в которых качестве дедуктивных постулатов используем только прямые правила вывода

2. Исчисления, в которых качестве дедуктивных постулатов используем только непрямые правила вывода

3. Используются и прямые и непрямые правила вывода

Рассмотрим только одну систему.

1. Задается язык.

Исходные связки - &, v, >, ┐ . Следовательно 5 типов формул. Остальные связки могут быть введены по определению

2. Дедуктивные постулаты. Только прямые правила вывода.

Две группы правил – введение и исключение

Введение Исключение

А, В А&В А&В

А&В А В

А В АvВ, ┐А

АvВ АvВ В

В А >В, А , где С – последнее из неисключенных допущений

С>В В

В, ┐В ┐┐А , где С – последнее из неисключенных допущений

┐С А

Построение вывода. ……

Вывод формулы А из множества допущений Г - это непустая конечная последовательность формул, такая что каждая формула этой последовательности есть либо допущение (посылка) из Г; либо любая формула, принятая в качестве дополнительного допущения; либо формула полученная из предыдущих по одному из правил вывода.

При применении правил введение импликации и отрицания все формулы вывода, начиная c последнего неисключенного допущения и вплоть до результата применения этих правил, считаются исключенными из дальнейшего построения вывода (к ним запрещается далее применять правила вывода).

Все формулы, введенные в качестве дополнительных, должны быть исключены из вывода.

Отношение выводимости. Из Г выводима А, если существует вывод А из множества допущений Г.

Доказательство формулы А – вывод формулы А из пустого множества допущений.

Теорема. А – теорема, если существует доказательство формулы А.

2. Эвристические приемы поиска вывода в натуральном исчислении высказываний.

Как искать разного рода обоснования. Каковы стратегии доказывания, построения вывода, рассуждения.

Процедура поиска вывода в натуральном исчислении проще, чем в аксиоматических, но нет четкого алгоритма. Но существует система принципов поиска вывода, эвристик, эвристических приемов (подсказок, советов). (Есть программа по поиску вывода)

Эвристики. Если строим вывод А1,А2,А2 |-- В, то стратегия такова - А1,А2,А2 – допущения, цель получить В. Но бывает что напрямую В получить нельзя. Надо посмотреть на структуры формулы В. Варианты:

1. импликативная формула

2. ф-ла с отрицанием

3. пропозициональная переменная

4. конъюнктивная

5. дизъюнктивная

1.Цель – получить формулу вида С>В. Надо ввести в качестве дополнительного допущения антецедент, и поставить новую цель – получить консеквент (В), потом использовать правило введения >.

2.Цель – получить формулу вида ┐С. В качестве допущения берется формула, которая стоит под отрицанием (С). Рассуждение сведением к абсурду. Новая цель – получить противоречие В, ┐В. Получая его, можем применить правило введение отрицания к формулам В, ┐В и отрицать последнее не исключенное допущение. Получаем ┐С.

3. Цель – получить пропозициональную переменную γ. В качестве допущения берется отрицание этой переменной. Рассуждение от противного. Новая цель – получить противоречие В, ┐В и отрицать последнее не исключенное допущение. Получаем ┐┐ γ. Потом снимаем двойное отрицание. Получаем γ

4. Цель – получить формулу А&В. Надо получить отдельно А и В, а потом использовать правило введения &. Здесь не обязательны дополнительные допущения.

5. Цель – получить формулу АvВ. Надо получить один из членов v : А или В. В качестве дополнительного допущения берется отрицание всей формулы, и ставится новая цель – получить противоречие. Можно ввести еще допущение или А, или В, или, или ┐В, а может быть и несколько из них.

6. Цель – противоречие (вспомогательная задача). Источниками цели могут быть формулы >, ┐, v. Если в выводе есть формула А>В, то она является источником цели. Новая цель – получить антецедент импликации, потом применить правило исключения импликации.

7. Цель – противоречие. Если в выводе есть АvВ, то новая задача - получить отрицание первого члена дизъюнкции, т. е. ┐А, а потом применить правило исключения дизъюнкции.

8. Цель – противоречие. Если в выводе есть ┐А, то новая задача – получить А. Потом ввести отрицание.

3. Основные метатеоретические свойства логических исчислений: семантическая непротиворечивость и полнота, синтаксическая непротиворечивость и полнота, разрешимость.

Исчисления могут быть предметом изучения. Можно выделить некие свойства, которые одним исчислениям присущи, а другим не присущи. Эти свойства касаются не только логических исчислений, но и различных систем знания, различных хорошо организованных теорий.

В современной логике есть специальный раздел – металогика, который занимается изучением логических теорий. Ставится вопрос, какими свойствами они обладают, в каких отношениях они находятся между собой.

5 свойств логических исчислений. В исчислениях законы – это теоремы, которые доказываются, а в семантически построенных теориях (логических теориях) законы – общезначимые формулы (т е истинные при любой интерпретации входящих в нее параметров). Первые два свойства характеризуют исчисления с точки зрения того, как соотносятся два этих класса (класс теорем и общезначимых формул). Это свойства семантический непротиворечивости и семантический полноты.

Семантическая непротиворечивость. Исчисление S семантически непротиворечиво относительно теории Т ≡Df (тогда и только тогда, по определению (Df от дефиниция, определение)), когда каждая теорема исчисления S общезначима в теории Т.

V˚A(S|--A >˚ T |= A) (если формула яв-ся теоремой в S, то она общезначима в Т, т. е. когда класс теорем является подмножеством класса общезначимых формул)

т. е. в данном исчислении мы можем доказать только законы

Семантическая полнота. Исчисление S семантически полно относительно теории Т ≡Df каждая формула общезначимая в Т доказуема в исчислении S.

V˚A (T |= A >˚S|--A)

Если исчисление S семантически полно и семантически непротиворечиво относительно теории Т, то класс теорем совпадет с классом общезначимых формул:

S – адекватно формализует теорию Т

Т – адекватная семантика для S

В системе должно доказываться все, что истинно

Синтаксическая непротиворечивость (хар-ка исчисления самого по себе). Нельзя доказать одновременно формулу и ее отрицание.

Исчисление S синтаксически непротиворечиво, если не существует формулы языка данного исчисления такой, что сама она и ее отрицание являются теремами языка

┐˚ E˚(S |--A &˚ S |-- ┐A)

Синтаксическая полнота. Исчисление S синтаксически полно (максимально, непополнимо) ≡ присоединение к S любой недоказуемой в S формулы в качестве новой аксиомы делает систему синтаксически противоречивой.

Добавить к исчислению S в качестве новой аксиомы ничего нельзя. Если добавить формулу, которая теоремой не является, в качестве новой аксиомы, то исчисление станет синтаксически противоречивым, т е в нем становятся доказуема какая-то формула и ее отрицание. Т. е. максимальность, непополнимость.

V˚A (S |-/-A >˚ E˚ B ( S+A |-- B &˚ S+A |-- ┐B)

Свойство разрешимости. Исчисление S разрешимо ≡ существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая в конечное число шагов, относительно каждой формулы языка исчисления, решать вопрос - доказуема или не доказуема данная формула в S.

1,2,3 свойства характерны для всех теорий

Классическое исчисление высказываний обладает всеми 5 свойствами. НО! Наличие или отсутствие свойства синтаксической полноты зависит от способа построения исчисления.