§ 2. Расчет нетто-премий для основных непрерывных видов страхования

2.1. Актуарная стоимость страховой выплаты

Современная стоимость (на момент заключения договора страхования) страховой выплаты будет определяться как

,

где - сложная процентная ставка, - сила роста (непрерывная процентная ставка), - момент выплаты страховой суммы.

Так как является случайной величиной, то разовая нетто-премия равна ее актуарной стоимости, а именно

, (8)

где

. (9)

Для конкретных видов страхования общая формула (9) может быть упрощена и конкретизирована, и современная стоимость может быть выражена через характеристики продолжительности жизни, которые были рассмотрены ранее.

Для обеспечения единого подхода к решению актуарных задач по страхованию жизни в 1898 г. на втором Международном конгрессе актуариев в Лондоне были приняты единые актуарные обозначения. Поэтому для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о конкретных страховых договорах, переменные и снабжаются различными индексами, согласно следующим правилам:

1. Справа внизу ставится возраст х застрахованного на момент заключения договора: .

2. Если договор страхования непрерывный, то есть, страховое пособие выплачивается в момент смерти, то сверху ставится черта: .

3. Если договор действует ограниченный период времени n, то после возраста x через двоеточие ставится дополнительный индекс , обрамленный уголком: .

4. Если договор отсрочен на m лет, то внизу слева ставится индекс : .

5. Если величина страхового пособия регулярно возрастает, то добавляется буква : .

6. Используется также индекс 1 справа сверху. Например, означает, что первым наступил страховой случай – смерть застрахованного в момент времени ; а означает, что застрахованный умер не ранее, чем через n лет с момента заключения договора страхования, и страховой случай наступил в момент времени

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных видов страхования.

2.2. Полное страхование жизни

Согласно формулам (1) и (9) получаем :

, (10)

и нетто-премия будет равна математическому ожиданию

.

Обозначив , можем получить:

.

А если ввести обозначение:

(11)

то

.

Функцию называют замещающей или упрощающей, используется также и термин – коммутационная функция.

Для упрощения записи вводят и выражения:

, (12)

, (13)

тогда

. (14)

Величины и также называются замещающими или упрощающими функциями. Они протабулированы в некоторых таблицах продолжительности жизни.

№ 7. Вычислите нетто-премию при заключении договора о полном страховании жизни человека в возрасте 30 лет, если предположить, что продолжительность жизни человека описывается моделью де Муавра с предельным возрастом лет, а эффективная годовая процентная ставка равна %.

Решение. Воспользуемся формулой:

.

Тогда, так как и , , , получаем:

(6,09 %).

Ответ: 6,09 %.

2.3. п-летнее чисто накопительное страхование жизни