4.2. Распределение пропорционально ожидаемому убытку

Разделим сумму пропорционально ожидаемому убытку , то есть

. (13)

Просуммируем (13) по :

,

или

и

.

Тогда

. (14)

Здесь - нетто-премия, - страховая надбавка,

- (14’)

относительная страховая надбавка.

4.3. Распределение пропорционально дисперсиям

Недостатком назначения индивидуальных премий по правилу (13) является то, что оно несправедливо по отношению к договорам, которые имеют малую дисперсию , и потому оплачивают в большей степени случайности, связанные с договорами с большей дисперсией.

Поэтому можно разделить сумму пропорционально дисперсиям:

. (15)

Просуммировав по , получаем

,

или

.

Отсюда

.

Следовательно,

(16)

и относительная страховая надбавка

. (16’)

4.4. Распределение пропорционально средним квадратическим отклонениям

Если же разделить сумму пропорционально средним квадратическим отклонениям:

, (17)

то, просуммировав по , получаем:

,

или

.

Отсюда следует, что

.

Следовательно,

(18)

и

. (18')

С точки зрения страховой компании все равно, какое из трех правил (13), (15) или (17) применять для начисления надбавок , так как в любом случае она получит одну и ту же страховую сумму

.

Но вопрос о том, какое из правил (13), (15) или (17) является более справедливым, с точки зрения застрахованного, в общем случае в страховой математике не решен.

№ 6. В условиях № 5 вычислить индивидуальные страховые премии, если распределение добавочной суммы производится:

а) пропорционально ожидаемому убытку;

б) пропорционально дисперсиям;

в) пропорционально средним квадратическим отклонениям.

Решение.

а) Согласно (14`) относительная страховая надбавка одинакова для всех договоров и равна

(52,27%).

Поэтому для договоров при лет премия будет равна

руб.,

а при лет:

руб.

б) Согласно (16)

.

Следовательно, для договоров первой группы:

руб.,

и индивидуальная премия будет равна

руб.,

а относительная страховая надбавка:

(59,12 %).

Для договоров второй группы получаем соответственно:

руб.,

руб.,

(50,43%).

в) Согласно (18):

.

Тогда для договоров первой группы получаем: руб.,

руб., (72,02%).

Для договоров второй группы получаем: руб.,

руб., (47,29%).

Г Л А В А III

Д О Л Г О С Р О Ч Н О Е С Т Р А Х О В А Н И Е Ж И З Н И

§ 1. Модели долгосрочного страхования жизни

Долгосрочное страхование жизни, в отличие от краткосрочного страхования, характеризуется тем, что при расчетах принимают во внимание изменение стоимости денег с течением времени. Годовая процентная ставка, используемая при этом, носит название технической процентной ставки или технического процента. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную доходность инвестиций. Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на методы расчетов, рассматриваемых в финансовой математике.

Общую модель страхования определяют две функции:

а) - величина страхового пособия, выплачиваемого в момент времени наступления страхового случая;

б) - момент выплаты страхового пособия – функция остаточного времени жизни застрахованного.

В актуарной математике принято производить все расчеты для страховой суммы у.е., поскольку динамика приращения капитала и демографические процессы не зависят от величины страховой суммы. Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной ставкой или тарифом.

Рассмотрим некоторые конкретные виды страхования и начнем с непрерывного страхования жизни, при котором страховое пособие выплачивается в момент смерти застрахованного.