§ 2. Точный расчет характеристик суммарного ущерба.

Пусть общее число застрахованных в компании людей равно , тогда случайная величина

(7)

представляет собой общую сумму выплат всем застрахованным ( - индивидуальный иск от -го застрахованного).

Если капитал компании равен u (сумма всех страховых премий ), то при компания сможет оплатить все иски, а при компания разорится. Поэтому расчет вероятностей таких событий представляет собой фундаментальный интерес для страховых компаний.

Для вычисления вероятностей вида и необходимо определить закон распределения вероятностей суммы (7). Предположим, что являются независимыми случайными величинами, то есть исключаются катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких застрахованных лиц.

Из курса теории вероятностей известно, что в случае дискретных случайных величин вида:

		…					…
		…					…

закон распределения суммы можно найти по следующему правилу:

а) возможные значения представляют собой суммы ;

б) вероятность возможного значения равна произведению вероятностей слагаемых:

,

то есть вероятность вида будет вычисляться как

.

Вычисление этих вероятностей удобно представить в виде следующей матрицы вероятностей:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Если рассматривается сумма нескольких независимых случайных величин вида , то суммирование следует проводить последовательно, вычисляя суммы , , …, .

§ 3. Приближенные методы расчета вероятности неразорения.

Обычно число застрахованных достаточно велико и точные методы расчета закона распределения вероятностей на ЭВМ могут привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Поэтому при больших применяют приближенные методы, основанные на том, что закон распределения вероятностей суммы можно достаточно точно аппроксимировать, например, законом распределения Пуассона или нормальным законом распределения вероятностей.

Рассмотрим более подробно приближение нормальным распределением. Применение нормального закона основано на центральной предельной теореме, которая утверждает, что при некоторых, весьма общих предположениях, закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин стремится к асимптотически нормальному распределению с параметрами , .

Известно, что если имеет асимптотически нормальное распределение, то справедливо равенство

, (8)

где функция распределения вероятностей и функция Лапласа протабулированы в соответствующих таблицах.

Полезно иметь также таблицу значений квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения , то есть таблицу вероятностей вида :

1-α	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05
	2,33	2,05	1,88	1,75	1,645

которая соответствует определенным значениям из таблицы значений функции .

При применении нормального приближения можно для величины получить формулу, в которую в явном виде входит и . Пусть в компании застраховано человек и для каждого из них иск имеет одно и то же среднее значение и дисперсию . Тогда , , и вероятность неразорения компании задается формулой:

.

И если мы хотим, чтобы вероятность неразорения была равна , то величина должна равняться квантилю , то есть

,

или

, (9)

где - страховая надбавка, а относительная страховая надбавка будет равна:

. (10)

Видно, что чем меньше (рассеивание возможных значений страховых выплат относительно среднего значения ), или чем больше количество застрахованных , тем меньше относительная надбавка .