§ 2. Остаточное время жизни
При страховании жизни страхователь имеет дело с конкретными людьми, уже дожившими до определенного возраста x. Поэтому необходимо рассмотрение случайной величины
,
(7)
определяющей остаточное время жизни человека, дожившего до х лет.
Закон распределения
вероятностей этой случайной величины
можно задать как
.
Эту вероятность в страховой математике
принято обозначать как
:
- (8)
вероятность смерти человека, достигшего возраста x лет, в течение ближайших t лет.
Дополнительная
вероятность
обозначается как
:
-
это вероятность
того, что человек в возрасте x
лет проживет еще не менее
лет.
В частном случае,
при
индекс
опускают:
вероятность того, что человек в возрасте х лет умрет в течение ближайшего года, и
вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет, по крайней мере, еще один год.
Через эти
характеристики можно выразить и
вероятности
:
;
Рассматривается также и вероятность
того, что человек в возрасте x лет проживет еще t лет, но умрет на протяжении последующих u лет. Эта вероятность будет вычисляться как
или
Учитывая формулу (8) можем получить:
(9)
Если
,
то
-
вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще t лет, но умрет на протяжении следующего года.
№ 1. Используя Приложение вычислить вероятность того, что человек в возрасте 40 лет:
а) проживет, по крайней мере, еще 3 года;
б) проживет еще 3 года, но умрет на протяжении следующего года;
в) проживет еще 3 года, но умрет на протяжении последующих 2 лет.
Решение.
а) Так как
,
,
то
;
б)
;
в)
.
Ответ: а) 0,98949; б) 0,00389; в) 0,00799.
§ 3. Округленное время жизни
В связи с тем, что
обычно страховые компании заключают
договора страхования жизни на целое
число лет, естественно возникает
необходимость наряду с остаточным
временем жизни T(x)
рассмотреть и её целую часть
– округленную
остаточную продолжительность жизни.
Округленная
остаточная продолжительность жизни
является дискретной случайной величиной,
принимающей возможные значения
,
с соответствующими вероятностями
.
Согласно определению
имеем
,
а последняя вероятность может быть вычислена как:
-
(10)
это и есть закон
распределения вероятностей дискретной
случайной величины
.
Рассмотрим теперь
задачу определения закона распределения
для дробных возрастов
,
которая решается с помощью интерполяции.
Для этого рассмотрим несколько
интерполяционных методов определения
функции выживания
,
с помощью которой и определяется закон
распределения
.
Если справедливо предположение о равномерном распределении смертей внутри года, то апроксимируется линейной функцией вида:
.
Тогда, линейное приближение примет вид
,
.
Если представить
х
в виде
,
,
то можно записать
.
(11)
№ 2. Вычислить вероятность того, что человек, доживший до 30 лет, умрет в возрасте от 31,5 до 32,5 лет, в предположении, что для дробных возрастов справедливо предположение о равномерном распределении смертей.
Решение. Воспользуемся формулой вида:
.
Вычислим
и
по формуле (11):
.
.
Следовательно:
.
Ответ: 0,002118.
Если на отрезке
функция выживания
аппроксимируется экспоненциальным
выражением (предположение о постоянной
интенсивности смертности):
,
то получаем
,
.
Если представить
х
в виде
,
,
то:
.
(12)
№ 3. Решить № 2 при условии, что справедливо предположение о постоянной интенсивности смерти.
Решение.
Вычислим
и
по формуле (12):
,
.
Следовательно:
.
Ответ: 0,002119.
Если функция апроксимируется в виде обратной пропорциональной зависимости (предположение Балдуччи):
.
то можно получить:
,
или
(13)
где
- вероятность того, что человек в возрасте
n
лет умрет
в течение ближайшего года.
№ 4. Решить № 2 в предположении, что для дробных возрастов справедливо предположение Балдуччи.
Решение. Вычислим и по формуле (13`:
,
.
Следовательно:
.
Ответ: 0,002118.
В заключении отметим, что общая таблица продолжительности жизни, рассмотренная в первом параграфе, носит часто иллюстративный характер. Дело в том, что такие статистические данные сильно отличаются друг от друга, по меньшей мере, в двух случаях:
а) когда речь идет о разных странах с различным социально- экономическим развитием;
б) даже когда речь идет о конкретной стране, следует иметь в виду, что существуют различные группы людей с разными характеристиками продолжительности жизни (шахтеры и домохозяйки, и т.д.).
Поэтому страховые компании должны иметь целый спектр таблиц продолжительности жизни для различных групп населения. Такие таблицы называются таблицами с отбором или таблицами отбора риска (select tables). В них, помимо возраста, учитываются и другие факторы, влияющие на смертность. В качестве такого фактора отбора может рассматриваться, например, факт прохождения медицинского осмотра. Термин «отбор» и означает, что люди попадают в соответствующую таблицу после некоторого отбора.
Смертность среди людей, включенных в такие таблицы, зависит не только от возраста, но и от момента проведения отбора. Ясно, что смертность тех, кто успешно прошел, например, медицинское обслуживание, ниже, чем среди остальных людей. Однако эта зависимость с течением времени практически исчезает. Так, если в возрасте 30-ти лет человек прошел успешный отбор, то это оказывает существенное влияние на вероятность смерти в течение нескольких ближайших лет, но к годам 50-ти вероятность его смерти фактически зависит только от образа жизни индивида в течение последних 10-15 лет.
В связи с этим величины, включаемые в таблицы отбора риска, имеют два аргумента: х - момент отбора и - время, прошедшее с момента отбора.
Теоретически влияние отбора продолжается неограниченно долго. Однако с течением времени это влияние уменьшается и существует некоторый конечный период времени, начиная с которого можно пренебречь влиянием отбора. Этот период называется периодом действия отбора или сроком селекции и таблица, используемая после истечения срока селекции, называется окончательной таблицей продолжительности жизни, и все характеристики жизни будут рассматриваться уже как функции только от достигнутого возраста. Такие таблицы называются таблицами с отбором ограниченного действия.
Г Л А В А II
К Р А Т К О С Р О Ч Н О Е С Р А Х О В А Н И Е Ж И З Н И