Таким образом, при вероятности неразорения в 95%, ожидаемый доход компании составит величину

руб.

Предположим теперь, что компания желает перестраховать иски, превышающие 10 тыс. руб., то есть предел удержания у.е. Допустим, что перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку .

Тогда индивидуальный иск для передающей компании принимает вид:

	0	1
	0,995596	0,004404

а к перестраховочной:

	0	4
	0,9995	0,0005

Вычислим капитал перестраховочной компании

Следовательно, капитал передающей компании становится равным

Вычислим теперь среднее значение и дисперсию суммарного ущерба

Тогда вероятность неразорения передающей компании становится равной:

, или 97,72%,

то есть вероятность неразорения увеличилась на 2,72 %.

Отметим, что повышение вероятности неразорения было достигнуто за счет уменьшения дохода компании с 148792,9 руб. до величины

руб.

Попробуем теперь найти такой предел удержания , при котором можно максимизировать вероятность неразорения передающей компании.

В этом случае, индивидуальный иск к передающей компании будет иметь вид:

	0	1
	0,995596	0,003904	0,0005

а к перестраховочной:

	0
	0,9995	0,0005

Тогда, для передающей компании получаем:

;

а для перестраховочной компании

Следовательно, капитал передающей компании становится равным

а вероятность неразорения можно подсчитать по формуле:

Обозначив

найдем из условия , а именно,

Тогда, при пределе удержания в 13392 руб., вероятность неразорения передающей компании становится равной 97,80%. Следовательно, по сравнению с пределом удержания, равным 10000 руб., удалось увеличить как вероятность неразорения на 0,08%, так и доход передающей компании с величины 93792,90 руб. до величины

руб.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

№ 1. Используя общую таблицу продолжительности жизни вычислить вероятность того, что человек в возрасте лет:

а) проживет, по крайней мере, еще 4 года;

б) проживет еще 4 года, но умрет на протяжении следующего года;

в) проживет еще 4 года, но умрет на протяжении последующих 2 лет.

№ 2. Используя общую таблицу продолжительности жизни вычислить вероятность того, что человек, доживший до лет, умрет в возрасте от до лет, если для дробных возрастов справедливо:

а) предположение о равномерном распределении смертей;

б) предположение о постоянной интенсивности смертности;

в) предположение Балдуччи.

№ 3. Страховая компания заключила договоров страхования жизни сроком на 1 год на следующих условиях: в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая компания выплачивает наследникам 20000 руб., и в случае смерти от естественных причин – 10000 руб. Компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного случая одна и та же для всех застрахованных и равна 0,0005.

1. Найти величину капитала, гарантирующую вероятность выполнения компанией своих обязательств, равную %, если было застраховано человек в возрасте лет и человек в возрасте лет.

2. Вычислить индивидуальные премии, если распределение добавочной суммы производится:

а) пропорционально ожидаемому убытку;

б) пропорционально дисперсиям;

в) пропорционально средним квадратическим отклонениям.

№ 4. В предположении, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом лет, а годовая процентная ставка равна %, вычислите нетто-премии для человека в возрасте лет, если заключается договор:

а) полного страхования жизни;

б) 4 –х летнего чисто накопительного страхования жизни;

в) 4 –х летнего временного страхования жизни;

г) 4 –х летнего смешанного страхования жизни;

д) полного страхования жизни, отсроченного на 2 года;

е) полного страхования жизни с непрерывно увеличивающимся страховым пособием.

№5. Страховая компания заключила 1000 договоров полного страхования жизни с величиной страхового пособия 50000 руб. Подсчитайте величину страховой премии, гарантирующей вероятность неразорения компании в %. Предполагается, что остаточное время жизни каждого застрахованного характеризуется постоянной интенсивностью смерти , а годовая процентная ставка равна .

№ 6. В предположении, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом лет, годовая процентная ставка равна %, возраст застрахованного составляет лет, вычислите актуарную современную стоимость:

а) полной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года, в размере 12000 руб.;

б) полной пожизненной ренты, отсроченной на 4 года и выплачиваемой раз в год в начале года, в размере 12000 руб.;

в) полной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в месяц в начале каждого месяца по 1000 руб.;

г) 4 – х летней пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года, в размере 12000 руб.;

д) 4 – х летней пожизненной ренты, выплачиваемой раз в месяц в начале каждого месяца по 1000 руб.

№ 7. Вычислите периодическую нетто-премию при полном непрерывном страховании жизни человека в возрасте лет, если эффективная годовая процентная ставка равна %, а продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом в 120 лет. Обязательства страховой компании заключаются в выплате 100000 руб. в момент смерти застрахованного, а застрахованный вносит платежи:

а) ежегодно;

б) ежемесячно.

№ 8. Страховая компания заключила 1000 договоров четырехлетнего смешанного страхования жизни с выплатой страховых премий в начале каждого года жизни застрахованного.

1. Найдите периодическую брутто-премию, если возраст всех застрахованных равен лет, вероятность неразорения равна %, годовая процентная ставка - %.

2. Вычислите полную страховую премию с учетом следующих издержек:

а) издержки приобретения – 0,4% от суммы страхового возмещения;

б) издержки сборов – 30% от суммы премии;

в) административные издержки – 1,1% от суммы страхового возмещения.

№ 9. Страховая компания заключила однотипных договоров краткосрочного страхования жизни сроком на 1 год. По условиям договора компания выплачивает 50 тыс. руб. в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая, 10 тыс. руб. в случае смерти застрахованного от естественных причин и не платит ничего, если застрахованный доживет до конца года.

1. Найдите доход компании, если вероятность неразорения составляет %, вероятность смерти от естественных причин – 0,0005, а возраст всех застрахованных равен лет.

2. Компания решила перестраховать свои иски по правилу перестрахования превышения потерь в перестраховочной компании, установившей относительную страховую надбавку в 60 %. Рассмотрите различные варианты перестрахования превышения потерь.

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПО ВАРИАНТАМ

Вариант	x	x1	x2	%	i %
1	21	21	51	95	10
2	22	22	52	96	11
3	23	23	53	97	12
4	24	24	54	98	13
5	25	25	55	99	14
6	26	26	56	95	15
7	27	27	57	96	16
8	28	28	58	97	17
9	29	29	59	98	18
10	30	30	60	99	19
11	31	31	61	95	20
12	32	32	62	96	21
13	33	33	63	97	22
14	34	34	64	98	23
15	35	35	65	99	24
16	36	36	66	95	25
17	37	37	67	96	10
18	38	38	68	97	11
19	39	39	69	98	12
20	40	40	70	99	13
21	41	41	71	95	14
22	42	42	72	96	15
23	43	43	73	97	16
24	44	44	74	98	17
25	45	45	75	99	18
26	46	46	76	95	19
27	47	47	77	96	20
28	48	48	78	97	21
29	49	49	79	98	22
30	50	50	80	99	23

П Р И Л О Ж Е Н И Е