§ 1. Продолжительность жизни

Разработка теории страхования жизни должна начинаться с разработки систем понятий о продолжительности жизни. Так как о продолжительности жизни отдельно взятого человека нельзя сказать ничего определенного, то можно говорить о том, что продолжительность жизни является случайной величиной X. Поэтому необходимо сначала определить закон распределения вероятностей случайной величины

В теории вероятностей этот закон распределения задается функцией распределения вероятностей

,

которая определяет вероятность того, что продолжительность жизни не превзойдет некоторого значения .

В страховой математике в качестве первичной характеристики продолжительности жизни применяют так называемую функцию выживания

, (1)

которая определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значения, большие x, то есть случайно взятый человек уже прожил, по крайней мере, лет.

Исходя из свойств функции распределения вероятностей, можем записать следующие свойства функция выживания:

1) ,

2) ,

3) - непрерывная и строго убывающая функция.

Статистическим аналогом функции выживания s(x) является величина , равная среднему числу лиц, доживших до x лет:

, (2)

где l₀ - количество новорожденных человек. Тогда

характеризует среднюю долю живых представителей некоторой фиксированной группы новорожденных к моменту времени x.

Еще одной характеристикой продолжительности жизни служит плотность распределения вероятностей , определяемая как:

. (3)

Статистическим аналогом плотности распределения служит величина - число представителей исходной группы, умерших в возрасте от x до лет, а именно:

.

Таким образом, плотность распределения вероятностей

(4)

крайне полезна в страховой математике, так как она приближенно описывает долю умерших в возрасте от x до x+1 лет от исходной группы в новорожденных. И график функции (или ) называют кривой смертей.

Отметим, что из теории вероятностей известны следующие свойства функции f (x):

1. .

2. ,

3. .

Таким образом, кроме и плотность распределения вероятностей может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни, так как с помощью можно вычислить функцию выживания .

Еще одной характеристикой продолжительности жизни является интенсивность смертности. Это величина, которая характеризует вероятность смерти в интервале человека, дожившего до x лет:

. (5)

Статистическим аналогом интенсивности смертности , является величина

,

характеризующая долю тех представителей исходной группы, доживших до возраста x лет, которые умрут в течение ближайшего года.

Для случайной величины определяют и такие числовые характеристики как математическое ожидание и дисперсия , которые можно вычислить по формулам:

,

.

Так как аналитических законов распределения вероятностей продолжительности жизни не существует, то для работы со случайной величиной страховщики должны располагать показателями, которые позволяют им оценить риск смерти или дожития до определенного срока для лиц различного пола и возраста. В качестве основного источника подобного рода служат таблицы смертности, которые составляются в каждой стране с определенной периодичностью на основе информации, собираемой в результате переписи населения. Кроме того, в некоторых странах страховщики, долгое время занимающиеся страхованием жизни и располагающие большим объемом данных о своих клиентах, создают собственные таблицы смертности, которые более точно характеризуют смертность среди застрахованных.

Поэтому в Приложении приведена так называемая общая или упрощенная таблица продолжительности жизни (aggregate tables), которая содержит информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст.

В таблицу включены следующие характеристики:

а) - среднее число живых представителей некоторой группы из новорожденных к возрасту x лет;

б) - число представителей группы, умерших в возрасте от x до лет;

в) - доля тех представителей группы, доживших до возраста x лет, которые умрут в течение ближайшего года;

г) - среднее суммарное число лет, прожитых представителями группы в возрасте от x до лет;

д) - среднее суммарное число лет, прожитых представителями группы в возрасте от x лет и более;

е) - среднее остаточное время жизни.

В качестве шага таблицы рассматривается 1 год, то есть протабулированы значения этих характеристик для лет.

Естественно, что для упрощения расчетов, теоретического анализа и так далее, желательно бы иметь и аналитическое выражение закона распределения продолжительности жизни X. В прошлом неоднократно предпринимались усилия для вывода универсального аналитического выражения для , из некоторых основных постулатов по аналогии с законами физики.

Приведем, например, один из таких, наиболее простых, аналитических законов распределения. Де Муавр (1724 г.) постулировал существование максимального возраста для людей и предположил, что X подчиняется равномерному закону распределения вероятностей в интервале :

,

тогда

. (6)