Введем в рассмотрение случайную величину - современную стоимость убытка, связанного с одним договором страхования

, (11)

где и - современные (не актуарные) стоимости обязательств страховой компании и застрахованного. Тогда компания, имеющая портфель из договоров страхования с убытками , не разорится, если суммарный убыток будет неположительным, то есть .

Если принять за вероятность неразорения компании, то получим

, (12)

или

.

В случае нормального приближения можем написать

, (13)

где

- (14)

квантиль нормального распределения.

Решив уравнение (16) относительно неизвестной , можем найти как полную премию (брутто-премию) , так и относительную страховую надбавку

Рассмотрим, например, - летнее смешанное страхование жизни.

4.2. n – летнее смешанное страхование

При этом виде страхования премии вносятся в начале каждого года в течение (не более) n лет, а страховое возмещение выплачивается в конце последнего года жизни.

В случае аппроксимации нормальным приближением, искомую полную периодическую премию можем найти из равенства (14). Предположим, что портфель компании состоит из одинаковых договоров смешанного страхования жизни. Тогда:

. (15)

Здесь

(16)

,

. (17)

№ 24. Страховая компания заключила 5000 договоров пятилетнего смешанного страхования с выплатой страховых премий в начале каждого года жизни. Найдите полную нетто-премию, если возраст всех застрахованных равен 30 годам, вероятность неразорения равна 95%, годовая процентная ставка – 20%.

Решение. Применим формулу (15), в которой:

Вычислим дисперсию , для чего найдем сначала

где

Тогда

И

Следовательно,

Для вычисления относительной защитной надбавки

найдем предварительно

.

Тогда

Следовательно,

, или 0,19 %.

Ответ: 0,11314; 0,19 %.

§ 5. Премии, учитывающие издержки

Рассмотренные выше расчеты размера страховой премии были основаны на равенстве актуарных современных стоимостей обязательств застрахованного и страховой компании. Кроме того, мы в страховую премию включали и защитную надбавку, связанную с вариациями продолжительности жизни, размер которой зависит от задаваемой вероятности неразорения компании.

Такая премия обеспечивает покрытие ожидаемых страховых выплат. Однако, заключение договоров страхования и выполнение обязательств по этим договорам связаны с определенными издержками (расходами), для покрытия которых взимается еще дополнительная плата (нагрузка).

Обычно различают три вида издержек.

1. Издержки приобретения (аквизиционные расходы) связаны с приобретением страхового полиса и складываются из комиссионных страховым агентам, затрат по оформлению полиса, рекламы и т.д.

2. Издержки сборов (издержки возобновления) связаны с регулярными комиссионными расходами по инкассации страховых платежей и выплате регулярных комиссионных агенту, продавшему полис.

3. Административные издержки включают в себя расходы по обеспечению функционирования страховой компании (зарплата, налоги, аренда и т.д.), а также иные расходы, не учтенные в предыдущих пунктах.

По способу расчета различают, в основном, три типа издержек:

1. прямо пропорционально страховой сумме;

2. прямо пропорционально премии, например, комиссионные агентам;

3. не зависящие от премии и страховой суммы, например, подготовка и оформление документации.

Все эти расходы, в конечном счете, оплачивает застрахованный. Важно, чтобы это увеличение страховых премий было не произвольным, а было рассчитано определенным образом, учитывающим интересы как клиента, так и страховой компании. Слишком большое увеличение премий ущемляет интересы клиента, а слишком малое увеличение премий может вызвать финансовые проблемы у страховой компании.

Для расчета полной премии, учитывающей издержки, рассмотрим в качестве примера n - летнее смешанное страхование жизни. Введем следующие обозначения:

а) - издержки приобретения, и будем считать, что они оплачиваются полностью при получении первого взноса;

б) - издержки сборов, и будем считать, что они производятся равномерно в течение периода уплаты взносов (m лет);

в) - административные издержки, и будем считать, что они производятся равномерно в течение всего срока действия договора страхования (n лет).

Основным принципом, по которому рассчитываются такие премии, является принцип финансовой эквивалентности финансовых обязательств компании и клиента. Поэтому уравнение для определения периодической премии, нагруженной на издержки, имеет вид баланса: современная актуарная стоимость периодической премии равна сумме современных актуарных стоимостей страховых выплат.

А именно,

(18)

где - актуарная стоимость обязательств застрахованного; - актуарная стоимость ожидаемых страховых выплат; и - актуарные стоимости издержек сборов и административных издержек; величина страхового возмещения равна 1 у.е.

Тогда периодическая страховая премия, нагруженная на издержки, будет вычисляться по формуле:

(19)

где

- нетто-премия, к которой добавляется и защитная надбавка;

- ежегодная часть оплаты издержек приобретения;

- ежегодная часть оплаты административных издержек.

Из последней формулы следует, что застрахованный оплачивает издержки приобретения страхового полиса в рассрочку в течение всего периода уплаты страховых взносов.

Отметим, что на практике имеет место большое разнообразие страховых контрактов и способов представления издержек. Здесь мы рассмотрели лишь один из возможных способов вычисления премий, нагруженных на издержки.

№ 25. Страховая компания заключила договор пятилетнего смешанного страхования жизни с человеком в возрасте 30 лет на сумму 100000 руб. с выплатой премии в начале каждого года в течение всего срока действия договора. Заключение и поддержание договора связаны со следующими издержками:

1. Издержки приобретения: 0,3% от суммы страхового возмещения.

2. Издержки сборов: 25% от суммы премии.

3. Административные издержки: 1% от суммы страхового возмещения.

Подсчитайте величину периодической премии, покрывающей указанные расходы, если годовая процентная ставка равна 20%.

Решение. Так как , , , , , то

Следовательно, искомая ежегодная премия будет равна:

или в рублях: 16530,63 руб., что на 46,38 % больше периодической нетто-премии.

Ответ: 16530,63 руб.

Г Л А В А VI

П Е Р Е С Т Р А Х О В А Н И Е

Перестрахование играет существенную роль в обеспечении финансовой устойчивости страховых компаний. На развивающихся же страховых рынках оно стало одним из важнейших инструментов повышения финансовой устойчивости компаний.