§ 2. Полное страхование жизни
2.1. Полное дискретное страхование жизни
Пусть плата за
страховку вносится в начале каждого
года с момента заключения договора
страхования в сумме
в течение всей жизни. Так как договор
страхования вступает в силу только
после получения компанией первого
взноса, рента страховых платежей (премий)
является всегда рентой пренумерандо.
Тогда актуарная приведенная стоимость
потока премий на момент заключения
договора будет равна:
.
Страховая компания
выплачивает единичную сумму в конце
года смерти
застрахованного. Актуарная современная
стоимость этой суммы на момент заключения
договора страхования будет равна
,
то есть
.
Следовательно, из равенства (1) получаем:
,
или
.
(2)
Формула (2) показывает
во сколько раз величина ежегодного
взноса
меньше величины единовременно
уплачиваемого взноса
.
Поэтому величину коэффициента приведения
называют еще коэффициентом
рассрочки.
Если период уплаты нетто-премий ограничен, например. n годами, то обязательства застрахованного будут выглядеть как
,
и ежегодная нетто-премия будет равна:
.
(3)
№ 19. Вычислите периодическую нетто-премию при полном дискретном страховании жизни человека в возрасте 30 лет, если эффективная годовая процентная ставка равна 20%, а продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом в 120 лет. Обязательства страховой компании заключаются в выплате 100000 руб. в конце года смерти застрахованного.
Решение. Учитывая результаты, полученные в № 14, можем вычислить:
или в рублях:
руб.
Таким образом, ежегодная нетто-премия при полном дискретном страховании жизни составит 979,35 руб.
Ответ: 979,35 руб.
2.2. Полное непрерывное страхование жизни
Пусть теперь
единичное страховое возмещение
выплачивается в момент смерти
застрахованного. Актуарная стоимость
этой суммы в момент заключения договора
страхования равна:
.
Обязательства
застрахованного заключаются в ежегодной
выплате суммы
,
актуарная стоимость, которой на момент
заключения договора страхования будет
равна:
.
Тогда, из условия (1) финансовой эквивалентности обязательств застрахованного и страховой компании, получаем:
,
или
.
(4)
Учитывая, что
,
можем последнюю формулу представить как:
;
(4´)
а если принять предположение о равномерном распределении жизни для дробных возрастов, то
.
№ 20. Решите № 19 при условии, что страховая компания выплачивает страховое возмещение в момент смерти застрахованного.
Решение: Учитывая результаты, полученные в №№ 7 и 14, можем получить:
или в рублях:
руб.
Таким образом, ежегодная нетто-премия при полном непрерывном страховании жизни составит 1074,64 руб., что, естественно, немного больше, чем при соответствующем дискретном страховании.
Ответ: 1074,64 руб.
Если период уплаты нетто-премий ограничен, например. n годами, то обязательства застрахованного будут выглядеть как
,
и ежегодная нетто-премия будет равна:
.
(5)