3.2. Временная пожизненная рента

В этом случае период выплат будет ограничен некоторым сроком в n лет. То есть, если человек проживет еще n лет , то будет произведено выплат; а если же человек умрет до достижения возраста n лет , то будет произведено выплат величиной у.е. каждая.

В предположении о равномерном распределении времени жизни для дробных возрастов можем получить следующую формулу для вычисления актуарной стоимости такой ренты

. (17)

Здесь - номинальная ставка дисконтирования, обращаемая с частотой , - номинальная процентная ставка.

№ 17. Решите № 15 при условии, что рента выплачивается в начале каждого месяца по 833,33 руб.

Решение. Воспользуемся формулой (17):

,

где

Следовательно,

,

или в рублях:

руб.

Ответ: 22935 руб.

Если в равенстве (17) перейти к пределу при , получим аналогичную формулу и для полной пожизненной ренты:

. (18)

Отметим, что предполагалось, что х - целое число лет.

№ 18. Решите № 14 при условии, что пожизненная рента выплачивается один раз в начале каждого месяца по 833,33 руб.

Решение. Применим формулу (18), где

Тогда

или в рублях:

руб.

Ответ: 51927 руб.

§ 4. Непрерывные пожизненные ренты

Пусть в полной пожизненной ренте, выплачиваемой с частотой , . То есть поступление средств можно рассматривать как непрерывный процесс со скоростью 1. Другими словами, за малый промежуток времени поступит сумма . Тогда приведенную стоимость полной непрерывной пожизненной ренты в момент времени можем вычислить как

.

С учетом того, что , можем написать:

.

Тогда актуарная приведенная стоимость такой ренты будет равна

. (19)

Можем выразить и через упрощающие функции

. (20)

В случае временной непрерывной пожизненной ренты платежи производятся не более, чем лет, то есть период платежей равен . Тогда приведенная стоимость такой ренты будет равна

, (21)

а актуарная стоимость:

. (22)

Г Л А В А V

П Е Р И О Д И Ч Е С К И Е П Р Е М И И

§ 1. Схема расчета нетто-премий

В предыдущих главах мы рассмотрели долгосрочные контракты по страхованию жизни, которые оплачивались единовременным страховым взносом . Однако такие контракты встречаются достаточно редко, так как слишком велика их стоимость. Как правило, долгосрочные страховые контракты оплачиваются застрахованным в рассрочку (периодически) – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно.

Предположим, что страховая премия выплачивается в виде серии платежей в течение некоторого срока с момента заключения договора страхования. При такой периодической уплате взносов застрахованный выполняет свои обязательства в рассрочку. Однако стоимость обязательств компании не зависит от способа уплаты страховых премий.

При расчете величины периодически уплачиваемых премий необходимо учитывать как процентный доход от инвестиций, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, так как не все застрахованные успевают уплатить все предусмотренные контрактом взносы.

В общем виде, схема расчета нетто-премий может быть представлена следующим образом. Пусть - искомая нетто-премия. Тогда современная актуарная стоимость обязательств застрахованного будет функцией , то есть . Актуарная современная стоимость финансовых обязательств компании также является функцией : . И для вычисления необходимо применить принцип финансовой эквивалентности обязательств страховой компании и застрахованного, а это означает, что необходимо решить уравнение:

, (1)

которое представляет собой условие равенства обязательств застрахованного и страховой компании на момент заключения договора страхования.

Отметим, что, как и ранее, полная периодическая премия состоит из нескольких частей: периодическая нетто-премия , защитная (страховая) надбавка и расходы, возмещающие организационные затраты.

Применим теперь общую схему (1) к различным вариантам страхования.