1.3. Отсроченная пожизненная рента

Отсроченная на m лет пожизненная рента представляет собой серию выплат единичной суммы, начиная с момента времени , до тех пор, пока человек жив. Тогда современная стоимость такой ренты равна

(9)

Так как

,

то

. (10)

Поэтому актуарная стоимость этой ренты будет равна

, (11)

или

. (12)

№ 16. Решите № 14 при условии заключения договора страхования о полной пожизненной ренте, отсроченной на 3 года.

Решение. Воспользуемся формулой (11):

,

где

, .

Следовательно,

или в рублях:

руб.

Ответ: 31722 руб.

§ 2. Актуарная современная стоимость и актуарная наращенная сумма

Рассмотрим, например, некий пенсионный фонд, в который человек в момент времени вносят по единичной сумме. К моменту времени эта сумма возрастет до . Однако, если в момент времени все человек имеют возраст x лет, то к моменту времени в живых останется в среднем человек. Поэтому на каждого оставшегося в живых участника фонда будет приходиться сумма

. (13)

Величину называют актуарным наращением или актуарным накоплением. Она больше обычного множителя наращения , так как происходит уменьшение числа живых участников фонда, претендующих на соответствующую им долю средств данного фонда.

Следовательно, для получения единичной суммы в момент времени , каждый из застрахованных должен внести в момент времени сумму

. (14)

Величина называется актуарным коэффициентом дисконтирования для человека в возрасте х на отрезке . Этот коэффициент, при равной величине выплат, всегда меньше современной стоимости обычной финансовой ренты, так как взносы по страховой ренте собираются со всех, а выплаты производятся только дожившим до сроков ее выплаты.

Коэффициенты и можно выразить и через упрощающую функцию :

,

и

.

Тогда и введенные выше актуарные стоимости рент можно записать как

,

,

.

Здесь можно отметить, например, что представляет собой среднюю сумму, которую надо внести, чтобы получить единичную сумму в каждый из моментов .

§ 3. Пожизненные постоянные р-срочные ренты

Ежегодные ренты, рассмотренные выше, встречаются значительно реже, чем ренты, выплачиваемые несколько раз в год (полугодовые, ежеквартальные, ежемесячные). Так, например, пенсии выплачиваются ежемесячно. Поэтому особую значимость представляет рассмотрение, так называемых, p – срочных страховых рент.

3.1. Полная пожизненная рента

Полная пожизненная р – срочная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени человек в возрасте лет будет получать раз в год по у.е. в начале каждой из х долей года, то есть в моменты времени

.

Здесь - целое число из промежутка такое, что

.

Тогда приведенная стоимость такой ренты в момент времени будет вычисляться как

, (15)

а актуарная стоимость будет равна

. (16)