1.1. Полная пожизненная рента

Простейшая пожизненная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени , человек один раз в начале каждого года начинает получать определенную постоянную сумму, которую примем в качестве единицы измерения денежных сумм. Выплаты этой суммы производятся только во время жизни человека, что и отличает эту страховую ренту от постоянных рент, рассмотренных в финансовой математике.

Обозначим через х возраст человека в момент времени начала платежей. Тогда выплаты будут производиться в моменты времени , где - остаточная продолжительность жизни. То есть имеем дело с годовой рентой пренумерандо со случайным числом выплат . Найдем современную стоимость такой ренты

, (1)

которая является случайной величиной. Здесь - годовая ставка дисконтирования.

Так как - современная стоимость полного дискретного страхования жизни, то

, (2)

поэтому расчет характеристик пожизненной ренты можно свести к расчету характеристик соответствующего дискретного страхования жизни.

Найдем актуарную современную стоимость пожизненной ренты (нетто-премию):

, (3)

или

. (4)

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

, (5)

где вычисляется так же, как и в предыдущей главе.

Формула (4) получена нами так называемым методом суммарной выплаты, когда пожизненная рента рассматривается как сумма случайного числа детерминированных слагаемых. Можно применить и другой метод – метод текущего платежа, который рассматривает эту ренту как сумму детерминированного числа случайных слагаемых.

Отметим также, что если при страховании рент речь пойдет о ренте постнумерандо, когда страховые выплаты будут производиться в конце соответствующего периода, то вычисление современной стоимости будет производиться по формуле:

.

№ 14. Вычислите актуарную стоимость полной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года в размере 10000 руб., если годовая процентная ставка равна 20%. Возраст человека на момент заключения договора страхования – 30 лет, а продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом лет.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

,

где

, .

Следовательно,

или в рублях это составит величину:

руб.

Ответ: 56670 руб.

1.2. Временная пожизненная рента

Временная п - летняя пожизненная рента выплачивается начиная с момента времени пожизненно, но не более, чем п лет, поэтому современная стоимость такой ренты будет равна

(6)

Учитывая, что современная стоимость п – летнего дискретного смешанного страхования жизни определяется как:

получаем:

.

Поэтому современная актуарная стоимость такой ренты будет вычисляться как

(7)

где - нетто-премия при дискретном смешанном страховании жизни.

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

.

Можем выразить и через характеристики жизни, рассмотренные ранее:

, (8)

№ 15. Решите № 14 при условии заключения договора страхования о трехлетней пожизненной ренте.

Решение. Так как, согласно (7),

,

где

,

то

или в рублях:

руб.

Ответ: 24948 руб.