§ 5. Анализ суммарного иска в одной простой модели
Пусть в момент
времени
страховая компания заключила
договоров страхования жизни. Обозначим
через
- премии, а через
- величину страхового пособия,
выплачиваемого по
-
ому договору в случайный момент времени
.
Расположим величины
в порядке возрастания:
.
Тогда в момент времени
капитал компании можно вычислить как
,
и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:
,
где
- современная стоимость выплаты
по
-
ому договору страхования. Вероятность
неразорения будет вычисляться по
формуле:
,
(32)
которая аналогична
соответствующей формуле для краткосрочного
страхования жизни. То есть расчет
вероятности неразорения при долгосрочном
страховании производится так же, как и
при краткосрочном страховании с
величинами убытков
.
Тогда плата за страховку будет иметь вид:
,
(33)
где
- нетто-премия по
-
ому договору, а
- соответствующая страховая надбавка,
которая вычисляется аналогично
краткосрочному страхованию жизни.
В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:
.
(34)
Следует отметить, что при более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:
а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);
б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).
Однако в любом случае для расчета страховых премий необходимо уметь вычислять современную стоимость страховых выплат, их математические ожидания и дисперсии.
Дисперсии, в
некоторых случаях, вычисляются достаточно
просто. Предположим, что функция
принимает только два значения 0 и 1. Тогда
,
другими словами,
дисперсия
при силе роста
равна разности между современной
стоимостью
при силе роста
и квадратом
при исходной силе роста
.
№ 13.
Страховая компания заключила 2000 договоров
полного страхования жизни с величиной
страхового пособия 5000 руб. Подсчитайте
величину страховой премии, гарантирующей
вероятность неразорения компании в
95%. Предполагается, что остаточное время
жизни каждого застрахованного
характеризуется постоянной интенсивностью
смертности
,
а сила роста равна
.
Решение. Вычислим нетто-премию по формуле:
,
где плотность распределения вероятностей остаточного времени жизни можно вычислить как:
.
Тогда:
.
Вычислим теперь
страховую надбавку
по формуле (34):
.
Здесь:
,
,
.
Следовательно,
,
И страховая премия будет равна
(26,04%).
Так как страховое пособие равно 5000 руб., то в рублях премия будет равна:
руб.
Ответ: 1302,14 руб.
Г Л А В А IV
П О Ж И З Н Е Н Н Ы Е Р Е Н Т Ы
§ 1. Пожизненные постоянные годовые ренты
Во многих случаях более предпочтительным для застрахованного является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода или пожизненно. Такие регулярные выплаты через равные промежутки называют страховой рентой или аннуитетом.