Тема 8. Численное дифференцирование и интегрирование.

Задача численного дифференцирования - приближенное вычисление значений производных заданной таблично функции. Предположим, что нам дана таблично заданная функция y = f(x) набором пар точек (x_i, y_i) (i = 1, 2, … , n). Предположим, что точки являются равноотстоящими, т.е. x_i = x₀ + i·h, и значение величины h является достаточно малым. Тогда, исходя из математического определения производной функции, можно записать три приближенные формулы для вычисления производных первого порядка в точке x_i :

• правая производная

. (9.1)

• левая производная

. (9.2)

• центральная производная

. (9.3)

Приведем также одну формулу для вычисления производной второго порядка (ее можно считать центральной)

(9.4)

Важно помнить, что в конечных точках интервала значения производных по некоторым формулам вычислить нельзя.

Задача численного интегрирования - приближенное вычисление значения заданного определенного интеграла вида

.

Геометрически значение определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x) (в предположении, что f(x)>0 на интервале [a, b]), снизу - осью ОХ, а с боков - вертикальными линиями x=a и x=b. Если с помощью точек x₀, x₁, …, x_n (причем x₀=a, x_n=b) разбить интервал [a, b] на n элементарных отрезков [x_i-1, x_i] (i=1, 2, …, n) и обозначить через s_i площадь части фигуры, опирающейся на отрезок [x_i-1, x_i], то значение искомого интеграла можно пердставить как сумму значений площедей полученных таким образом всех частей фигуры, т.е.

.

Если теперь какам-образом найти, хотя бы приближенно, значения каждого s_i, то задачу приближенного значения определенного интеграла можно считать решенной.

Способов разбиения отрезка [a, b] на n отрезков [x_i-1, x_i] (i=1, 2, …, n) и приближенного нахождения значения s_i имеется достаточно много. Каждый такой способ образует метод (или формулу) приближенного значения определенного интеграла. Наиболее широко используемыми являются

1. метод прямоугольников

2. метод трапеций

3. метод Симпсона

Мы будем рассматривать эти методы в предположении о равномерном разбиении интервала [a, b] на части, т.е. для любого i , где n - некоторое положитнльное число.

Метод прямоугольников. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку _i (x_i-1  _i  x_i) и найдем произведение значения функции в этой точке f(_i) на длину элементарного отрезка x_i= x_i - x_i-1. Величина этого произведения будет равна площади прямоугольника, ширина которого совпадает с длиной отрезком [x_i-1, x_i], а высота равна значению f(_i). Плоощь этого прямоугольника и примем за приближенное значение величины s_i. Тогда можно принять, что

s_i= f(_i) x_i.

Сумма таких произведений, т.е.

называется интегральной суммой, а ее предел при стремлении максимального x_i к нулю - определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]

.

Известна теорема существования определенного интеграла. Она утверждает, что если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка Метод трапеций на элементарные отрезки, ни от выбора точек _i.

y

₁ ₂ _i _n

a=x₀ x₁ x₂ x_i-1 x_i x_n-1 x_n=b x

Геометрический смысл описаного выше для случая f(x) > 0 проиллюстрирован на этом рисунке.

Метод прямоугольников имеет три модификации, которые различаются между собой способом выбора точек _i.

- метод левых прямоугольников предполагает в качестве точек _i брать левые границы каждого из интервалов, т.е. _i=x_i-1. Тогда

. (9.5)

- метод правых прямоугольников предполагает в качестве точек _i брать правые границы каждого из интервалов, т.е. _i=x_i. Тогда

. (9.6)

- метод средних прямоугольников предполагает в качестве точек _i брать средние точки каждого из интервалов, т.е.  _i=x _i+1/2=(x_i-1+x_i)/2. Тогда

, (9.7)

где y_i-1/2= f(x_i-1/2).

Величина погрешности метода прямоугольников не превосходит значения , где .

Метод трапеций предполагает замену каждой части не прямоугольником, а прямоугольной трапецией, в которой верхняя сторона представляет собой прямую линию, соединяющую ординаты функции в левом и правом конце элементарного интервала. Тогда приближенно будем иметь

.