Тема 4. Приближенное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения в общем виде можно представить как

f(x) = 0,

здесь f(x) - некоторая функция от аргумента x, которую будем предполагать непрерывной и дифференцируемой. Рещение таких уравнений аналитическими методами, как правило, невозможно или очень сложно. Поэтому (наиболее часто) нахождение корней таких уравнений производится приближенными методами. Подавляющее большинство таких методов требует предварительного отделения корней, которое заключается в поиске для каждого простого или кратного корня x_i этого уравнения такого интервала (a_i. b_i), внутри которого он содержится. После такого отделения используют методы приближенного нахождения корней для их уточнения с заданной точностью. Имеются некоторые из методов (в частности, метод Рыбакова), которые не требуют отделения корней.

Для выполнения отделения корней уравнения используются аналитические и графические методы. Суть аналитических методов заключается в анализе знаков исходной функции в точках, равных корням производной исходной функции (или близких к ним), а также предельных значений при стремлении аргумента к “плюс” и “минус” бесконечности. Если перемена знака происходит - значит в этом интервале имеется корень исходной функции (при желании интервал можно сузить проведя просчет значений функции внутри него с некоторым шагом и анализируя знаки полученных при этом значений). Суть графических методов заключается в просчете значений исходной функции в некоторых точках и построении ее графика, по нулям которого (с учетом погрешностей такого построения) определяются такие интервалы. Если построение графика исходной функции затруднено - можно представить ее как разность двух (более простых) функций f(x) = f₁(x) - f₂(x). После этого, на одной и той же координатной плоскости необходимо построить графики каждой из этих функций в отдельности. Затем приближено определить допустимые пределы, в которых находяться абсциссы точек пересечения этих графиков. Они и дадут интервалы, в которых находятся искомые значения корней исходного уравнения.

Поиск приближенного значения корня x, заключенного внутри найденного интервала (a, b), методом половинного деления заключается в сравнении знаков исходной функции в концах интервала и в его средине (точка x = (a.+ b)/2) и в переносе в среднюю точку интервала того его конца, знак значения функции в котором совпадает со знаком ее в средней точке интервала. Таким образом за один шаг интервал локализации корня уравнения уменьшается в два раза. Так продолжается до тех пор, пока длина интервала не станет меньшей заданной точности для нахождения значения корня. В этом случае за приближенное значение корня берется средина последного отрезка. Вычисления по этому методу удобно производить с использованием таблиц (возможно в Excel) следующего вида

j	а	f(a)	b	f(b)	x	f(x)	b – a
0
1
…

Пример 1. Используя метод половинного деления найти приближенное значение наибольшего корня уравнения y = x² – 3 – ln(x) с точностью  = 0.005.

П роизведем сначала отделение корней. Для этого воспользуемся графическим методом. Разобьем функцию f(x) = x² – 3 – ln(x) на разность двух более простых функций f(x) = f₁(x) – f₂(x), где f₁(x) = x² – 3 и f₂(x) = ln(x), и построим графики зависимостей y = f₁(x) и y = f₁(x) на одной координатной плоскости. Получим графики обоих функций

Из графика определим границы интервала, внутри которого находится корень. За левую границу примем значение 1, за правую - 2. Таким образом, мы получили [a, b] = [1, 2].

Дальнейшее уточнения значения корня с заданной точностью проведем с использованием таблицы указанного выше вида. После выполнения всех необходимых расчетов она примет следующий вид :

i	a	f(a)	b	f(b)	x	f(x)	b-a
0	1	-2	2	0,3069	1,5	-1,1555	1
1	1,5000	-1,1555	2	0,3069	1,7500	-0,4971	0,5000
2	1,7500	-0,4971	2	0,3069	1,8750	-0,1130	0,2500
3	1,8750	-0,1130	2	0,3069	1,9375	0,0925	0,1250
4	1,8750	-0,1130	1,9375	0,0925	1,9063	-0,011	0,0625
5	1,9063	-0,0113	1,9375	0,0925	1,9219	0,0403	0,0313
6	1,9063	-0,0113	1,9219	0,0403	1,9141	0,0144	0,0156
7	1,9063	-0,0113	1,9141	0,0144	1,9102	0,0015	0,0078
8	1,9063	-0,0113	1,9102	0,0015	1,9082	-0,0049	0,0039

Так как на последнем (восьмом) шаге величина b – a оказалась меньше заданной точности, т.е. меньше 0.005, то процесс вычислений заканчиваем и за искомое значение корня примем последнее значение величины x, равное 1.9082. Для дополнительного контроля правильности проведенных расчетов обратим внимание на значение f(x) при найденном значении x. Оно равно -0.0049, т.е. является достаточно близким к нулю. Это дает основание предполагать, что расчеты проведены правильно.

Поиск приближенного значения корня x, заключенного внутри найденного интервала [a, b] методом Ньютона (другое название - метод касательных) начинается с выбора начального приближения искомого корня x₀ . В качестве его можно взять значение одного из концов найденного интервала [a, b], а именно того конца интервала (a или b ), значение которого удовлетворяет неравенству

. (5.1)

После этого производится уточнение значения корня по следующей итерационной формуле этого метода

. (5.2)

здесь j - номер итерации. Если вычисленное значение производной близко к нулю (случай кратного корня) - вместо него необходимо использовать (в этой формуле) любое большее по абсолютной величине число, знак которого совпадает со знаком производной вблизи искомого корня. В частности, можно производить вычисления по формуле

. (5.3)

Процесс уточнения корней завершается в том случае, если в двух последующих итерациях достигнуты значения, отличающиеся менее чем на величину заданной точности , т.е. если будет выполнено неравенство . В этом случае за найденное приближенное значение корня принимают значение величины x_j+1. Вычисления по этому методу удобно производить с использованием таблиц (возможно в Excel) следующего вида

I	x	f (x)	f’(x )	x = ff(x) / f’(x)
0
1
…

Пример. Используя метод Ньютона найти приближенное значение наибольшего корня уравнения y = x² – 3 – ln(x) с точностью 0.005.

Вместо поиска начального приближения искомого корня воспользуемся интервалом, внутри которого он заключен, найденным при нахождении его методом половинного деления. Имеем a =1 и b = 2. В качастве начального приближения возьмем тот конец интервала, который удовлетворяет неравентсву (5.1). Имеем

Следовательно, за начальное приближение необходимо взять правый конец интервала, т.е. положить . Произведем необходимые вычисления и их результаты поместим в таблицу. Получим

I	X	f(x)	f'(x)	f(x) / f'(x)
0	2	0,30685	3,5	0,08767
1	1,91233	0,00868	3,30173	0,00263
2	1,90970	0,00000	3,295757	0,00000

Уже на втором шаге получено искомое значение корня (с заданной точносью).

Метод Рыбакова позволяет вычислить приближенные значения всех корней уравнения на заданном интервале (a, b) без проведения их предварительного отделения. Для того, чтобы воспользоваться этим методом, необходимо определить значение вечины М, которая должна быть не меньше наибольшего значения абсолютной величины производной исходной функции на всем заданном интервале, т.е.

. (5.4)

Суть метода удобно рассмотреть по риcунку 5.1, на котором в координатной плоскости XOY изображен график абсолютной величины исходной функции (на интервале (a, b).

Рис. 5.1. Схема к методу Рыбакова поиска корней функции на интервале.

Начиная от левого конца интервала (т.е. положив x=a), из точки с координатами (x, f(x)) под углом, тангенс которого равен значению М, проводят прямую линию до пересечения с осью ОХ. В точке пересечения получим очередную точку x, значение которой может быть посчитано из предыдущего ее значения по формуле

. (5.5)

Дальше из новой точки (x, f(x)) проведем аналогичную операцию. Так будем продолжать до тех пор, пока шаг движения вперед станет очень малым. В такой ситуации :

• последнюю точку x примем за приближенное значение очередного корня

• увеличим величину x на значение точности e

• продолжим тот же процесс до получения следующего корня или до достижения точки b.

Более четко алгоритм этого метода в виде блок-схемы приведен на рис. 5.2, который необходимо разобрать в деталях.

Выполнене условия (5.4) обеспечивает прохождение каждой прямой (наклонной) линии под кривой, не пересекая ее. Если это условие окажется нарушеным - наклонная линия может пересечь график абсолютной величины функции и какой-то корень уравнения может быть пропущен.

нет

i - порядковый номер корня

S – флаг малости шага.

нет

нет

да

да

нет

Рис. 5.2. Блок- схема алгоритма метода Рыбакова