Частотные критерии устойчивости

Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

Подставим в характеристический полином вместо переменного p чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать j. Тогда получим функцию комплексного переменного

(2.5)

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

(2.6)

Действительная часть содержит только четные степени переменного :

(2.7)

а мнимая часть — только нечетные:

(2.8)

Каждому фиксированному значению переменного  соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр  от 0 до , то конец вектора опишет некоторую линию (рис.1.2, а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении  0 до  характеристический вектор системы повернется против часовой стрелки на угол n/2, не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении  от 0 до  пройти последовательно через n квадрантов. Из выражений (1.7) и (1.8) следует, что кривая всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину a_n.

Рис. 2.2. Характеристические кривые.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения (рис.1.2, б.). Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис.1.2, в.). Если кривая F(j) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В практических расчетах удобно применять

следствие из критерия Михайлова: система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений и перемежаются и и (рис.1.2, г.).

Критерий Найквиста был сформулирован американским физиком X. Найквистом в 1932 г.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая автоматическая система управления устойчива, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна m/2, где m — число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Для использования изложенного приема применительно к астатическим системам, которые содержат интегрирующие звенья, и амплитудно-фазовые характеристики которых начинаются в -∞, характеристику W(јω) предварительно дополняют дугой окружности бесконечно большого радиуса, длина дуги зависит от порядка астатизма. Для определения устойчивости систем с астатизмом порядка , следует дополнить АФЧХ разомкнутой системы дугой окружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий Найквиста.

Частота, при которой амплитудная характеристика А(ω) принимает значение 1, называется частотой среза и обозначается ω_ср. Частоту, при которой фазовый сдвиг

φ(ω) = -π, обозначают ω_π.

Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие нахождения системы на границе устойчивости:

(2.9)

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается ω_кр.

Порядок выполнения работы