4. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств. Например, ∩ (ВC), (А \ В) + C – формулы алгебры множеств.
Основные тождества алгебры множеств
Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:
1. Коммутативность.
а) A B = B A (для объединения);
б) A ∩ B = B ∩ A (для пересечения).
2. Ассоциативность.
а) A (B C) = (A C) C (для объединения);
б) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (для пересечения).
3. Дистрибутивность.
а) A (B∩C) = (AB) ∩ (AC) (для объединения относительно пересечения);
б) A∩(BC) = (A∩B)(A∩C) (для пересечения относительно объединения).
4. Закон де Моргана.
а)
=
∩
(дополнение к объединению есть пересечение
дополнений);
б)
=
(дополнение
к пересечению есть объединение
дополнений).
5. Идемпотентность.
а) A A = A (для объединения);
б) A ∩ A = A (для пересечения).
6. Поглощение.
а) A (A ∩ B) = A;
б) A ∩ (A B) = A.
7. Расщепление (склеивание).
а) (A B) ∩ (A ) = A;
б) (A ∩ B) (A ∩ ) = A.
8. Двойное дополнение.
=
A.
9. Закон исключенного третьего.
A = U.
10. Операции с пустым и универсальным множествами.
а) A U = U;
б) A = A;
в) A ∩ U = A;
г) A ∩ = ;
д)
=
U;
е)
=
.
11. А \ В = A ∩ .
Чтобы доказать некоторое тождество A = B, нужно доказать, что, во-первых, если x А, то xВ и, во-вторых, если xВ, то x А. Докажем таким образом, например, свойство дистрибутивности для объединения (тождество 3а)):
A (B∩C) = (AB) ∩ (AC).
1. Сначала предположим, что некоторый элемент x принадлежит левой части тождества, т.е. x A (B∩C), и докажем, что x принадлежит правой части, т.е. x(AB) ∩ (AC).
Действительно, пусть x A (B∩C). Тогда либо x A, либо x B∩C. Рассмотрим каждую из этих возможностей.
Пусть x A. Тогда x A B и x A C (это верно для любых множеств B и C). Следовательно, x(AB) ∩ (AC).
2. Предположим, что некоторый элемент x принадлежит правой части тождества, т.е. x (AB) ∩ (AC), и докажем, что x принадлежит левой части, т.е. x A (B∩C) .
Действительно, пусть x (AB) ∩ (AC). Тогда xAB, и одновременно x AC. Если x AB, то либо x A, либо x B, если .x AC, то либо x A, либо x C. Пусть x A, Тогда x A (B∩C) и утверждение доказано. Если x A, то одновременно должны выполняться условия x B и x C, т.е. x B∩C. Но тогда x B∩C и x A (B∩C), что также доказывает наше утверждение.
Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна.
Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.
Пример 1.14.
Доказать тождество (AB) \ В = A ∩ .
Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:
(AB) \ В = (AB) ∩ .
Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):
(AB) ∩ = A ∩ B ∩ .
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
B ∩ = .
Получим
A ∩ B ∩ = A ∩ .
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A ∩ = A ∩ .
Тождество доказано.
Пример 1.15.
Доказать тождество:
A \ (В \ C) = (A \ В) (A ∩ C).
Множества, стоящие в левой и правой частях тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 2).
Рис. 2.
Рис. 2б) и рис. 2д) иллюстрируют равенство множеств A \ (В \ C) и (A \ В) (A ∩ C).
Докажем тождество из нашего примера, воспользовавшись тождествами:
А
\ В
= A
∩
,
=
,
= A,
A∩(BC)
= (A∩B)(A∩C).
Получим:
A
\ (В
\
C)
= A
∩
= A
∩
= A
∩ (
)
= A
∩ (
C)
= (A
∩
)
(A
∩ C)
= (A
\ В)
(A
∩
C).
Основные тождества алгебры множеств можно также использовать для упрощения формул алгебры логики.
Пример 1.16.
Упростить выражение:
(AB) ∩ ( B) ∩ (A ).
Используя закон коммутативности (тождество 1б), поменяем местами вторую и третью скобки:
(AB) ∩ ( B) ∩ (A ) = (AB) ∩ (A ) ∩ ( B).
Применим закон расщепления (тождество 7а) для первой и второй скобок:
(AB) ∩ (A ) ∩ ( B) = A ∩ ( B).
Воспользуемся законом дистрибутивности (тождество 3б):
A ∩ ( B) = A ∩ A ∩ B.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
A ∩ = .
Получим
A ∩ A ∩ B = A ∩ B.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A ∩ B = A ∩ B.
Итак,
(AB) ∩ ( B) ∩ (A ) = A ∩ B.