- •Вопросы к экзамену по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизации»
- •Предмет, цели, задачи исследования операций, построение математических моделей.
- •Классификация задач исследования операций.
- •Понятие двойственности в задачах линейного программирования, правила построения двойственной задачи.
- •Первая теорема двойственности, экономический смысл
- •Вторая теорема двойственности, экономический смысл.
- •Третья теорема двойственности, экономический смысл.
- •Решение задач линейного программирования графическим способом.
- •Решение задач линейного программирования симплекс методом.
- •Анализ решения задач линейного программирования.
- •Транспортные задачи. Математическая модель прямой и двойственной задачи.
- •Метод наименьшего элемента.
- •Метод потенциалов
- •Формулировка транспортной задач Пусть m - пункты производства/потребления, n – дуги перевозок, c|n| - цены провоза по дугам n, Nb набор базисных столбцов.
- •Задачи динамического программирования. Общие уравнения алгоритма, реализующие принципы Беллмана.
- •Задачи теории игр. Основные понятия теории игр.
- •Классификация игр.
- •Решение игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
- •Понятие стратегии в задачах теории игр.
- •Типы стратегий
- •Решение игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
- •Решение игры с нулевой суммой геометрическим способом.
- •Модель сетевого планирования и управления. Основные временные характеристики событий и работ.
- •Задача оптимизации при сетевом планировании.
- •Метод множителей Лагранжа.
Типы стратегий
Чистая стратегия даёт полную определённость каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придётся сделать. Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий доступных данному игроку.
Смешанная стратегия — является указанием вероятности каждой чистой стратегии. Это означает, что игрок выбирает одну из чистых стратегий, в соответствии с вероятностями заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед началом каждой игры и не меняется до её конца. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии 1 и у всех других нулевая вероятность.
Решение игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.
Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.
Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого
Рассмотрим парную конечную игру.
Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A1, A2, …, Am. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B1, B2, …, Bn. В этом случае игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий Ai,Bj ( ) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш aij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( - aij) игрока В.
Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai,Bj).
Матрица А = (aij), , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платежной матрицей или матрицей игры.
Общий вид платежной матрицы приведен ниже:
A = |
|
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... am1 am2 ... amn |
. |
Решение игры с нулевой суммой геометрическим способом.
Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.
Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.
Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого
Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Такие игры можно решать графически.
В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.
2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго (первого) игрока.
3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную стратегию первого (второго) игрока и цену игры.
4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений, включающую его активные стратегии.