11. Транспортные задачи. Математическая модель прямой и двойственной задачи.

Транспортная задача (классическая) — задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).

Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку). Под названием транспортная задача, определяется широкий круг задач с единой математической моделью, эти задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены оптимальным методом. Однако, спец.метод решения транспортной задачи позволяет существенно упростить её решение, поскольку транспортная задача разрабатывалась для минимизации стоимости перевозок.

12. Метод наименьшего элемента.

Одним из способов решения задачи является метод минимального (наименьшего) элемента. Его суть заключается в сведении к минимуму побочных перераспределений товаров между потребителями.

Алгоритм:

1. Из таблицы стоимостей выбирают наименьшую стоимость и в клетку, которая ей соответствует, вписывают большее из чисел.

2. Проверяются строки поставщиков на наличии строки с израсходованными запасами и столбцы потребителей на наличие столбца, потребности которого полностью удовлетворены. Такие столбцы и строки далее не рассматриваются.

3. Если не все потребители удовлетворены и не все поставщики израсходовали товары, возврат к п. 1, в противном случае задача решена.

13. Метод потенциалов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Формулировка транспортной задач Пусть m - пункты производства/потребления, n – дуги перевозок, c|n| - цены провоза по дугам n, Nb набор базисных столбцов.

Задача формулируется как найти min(C|N|x|N|) при условиях A|M,N|x|N|=b|M| где C|N|-стоимости провоза по дугам, b|M| производство (+) / потребление (-), x|N| решение.

Матрица ограничений транспортной задачи состоит из столбцов A|M,N|, содержащих всего два ненулевых элемента - +1 для производителя и -1 для потребителя.

14. Транспортная задача на максимум целевой функции.

15. Задачи динамического программирования. Общие уравнения алгоритма, реализующие принципы Беллмана.

Динамическое программирование (динамическое планирование) – это раздел математического программирования, который изучает совокупность приёмов и методов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений.

Задачи динамического программирования являются многоэтапными, поэтому термин «динамическое программирование» не столько определяет особый тип задач, сколько характеризует методы нахождения решения отдельных классов задач математического программирования.

В общем случае задача динамического программирования формулируется следующим образом. Пусть данная физическая система   находится в некотором начальном состоянии   и является управляемой. Благодаря осуществлению некоторого управления (некоторой операции)   указанная система переходит из начального состояния   в конечное состояние    При этом качество каждого из реализуемых управлений   характеризуется соответствующим значением функции   Задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений   найти такое   при котором функция   принимает экстремальное значение 

Можно выделить два класса задач, к которым методы динамического программирования применяются наиболее удачно.

Первый класс – это задачи планирования деятельности экономического объекта (предприятия, отрасли и т.п.) с учётом изменения потребности в производимой продукции во времени.

Второй класс задач – задачи оптимального распределения ресурсов между различными направлениями во времени.