- •Вопросы к экзамену по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизации»
- •Предмет, цели, задачи исследования операций, построение математических моделей.
- •Классификация задач исследования операций.
- •Понятие двойственности в задачах линейного программирования, правила построения двойственной задачи.
- •Первая теорема двойственности, экономический смысл
- •Вторая теорема двойственности, экономический смысл.
- •Третья теорема двойственности, экономический смысл.
- •Решение задач линейного программирования графическим способом.
- •Решение задач линейного программирования симплекс методом.
- •Анализ решения задач линейного программирования.
- •Транспортные задачи. Математическая модель прямой и двойственной задачи.
- •Метод наименьшего элемента.
- •Метод потенциалов
- •Формулировка транспортной задач Пусть m - пункты производства/потребления, n – дуги перевозок, c|n| - цены провоза по дугам n, Nb набор базисных столбцов.
- •Задачи динамического программирования. Общие уравнения алгоритма, реализующие принципы Беллмана.
- •Задачи теории игр. Основные понятия теории игр.
- •Классификация игр.
- •Решение игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
- •Понятие стратегии в задачах теории игр.
- •Типы стратегий
- •Решение игры с нулевой суммой в чистых стратегиях.
- •Решение игры с нулевой суммой геометрическим способом.
- •Модель сетевого планирования и управления. Основные временные характеристики событий и работ.
- •Задача оптимизации при сетевом планировании.
- •Метод множителей Лагранжа.
Анализ решения задач линейного программирования.
Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.
Общей (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида[3]:
задача в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется — основной задачей линейного программирования (ОЗЛП)
,
.
Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в общей задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства[4]:
,
Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.
Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств[5].
Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.
Решение задач целочисленного программирования методом ветвей и границ.
Метод ветвей и границ - общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции на множестве допустимых значений переменной . Функция и переменная могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура ветвления состоит в разбиении множества допустимых значений переменной на подобласти (подмножества) меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти (подмножества множества значений переменной ).
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для решения задачи на подобласти допустимых значений переменной .
В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея: если нижняя граница значений функции на подобласти дерева поиска больше, чем верхняя граница на какой-либо ранее просмотренной подобласти , то может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную ; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения , может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.