4. Первая теорема двойственности, экономический смысл

Для двойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев:

В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: max Z(X)=min F(Y); В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым; Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Экономический смысл первой теоремы двойственности следующий. План производства X и набор ресурсов Y оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при известных заранее ценах продукции C=(C1,C2,...Cn), равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов Y=(y1,y2,...,ym). Для всех других планов прибыль от продукции всегда меньше или равна стоимости затраченных ресурсов Z(X)<F(Y), т.е. ценность выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки затраченных ресурсов. Значит, величина Z(X)-F(Y) характеризует производственные потери в зависимости от рассмотренной производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

5. Вторая теорема двойственности, экономический смысл.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости):

Пусть X=(x1,x2,...,xn) - допустимое решение прямой задачи, а Y=(y1,y2,...,ym) - допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Эти условия устанавливают связь между оптимальными значениями прямой и двойственной задач и позволяют, зная решение одной из них, находить решение другой задачи.

Согласно второй теореме двойственности имеем: если в оптимальном плане исходной задачи какое-либо i-тое ограничение выполняется как строгое неравенство, то соответствующая i-тая переменная в оптимальном плане двойственной задачи равна нулю. По экономическому содержанию это означает, что положительную двойственную оценку могут иметь лишь ресурсы, полностью использованные в оптимальном плане; оценки не полностью использованных ресурсов всегда равны нулю. С другой стороны, если j-тая переменная исходной задачи входит в оптимальный план с положительным знаком, то соответствующее ограничение двойственной задачи принимает вид равенства. Экономическое содержание этой математической зависимости: если данный вид продукции вошел в оптимальный план, то двойственная оценка ресурсов, затрачиваемых на единицу этого продукта, в точности равна ее цене и производство продукции по оценкам оправдано. Если же выпускать данную продукцию нерационально и она не вошла в оптимальный план, то по оценкам ее производство будет убыточным, т.е. оценка затрачиваемых на нее ресурсов окажется выше цены этой продукции (и как крайний случай, может быть равна ей при наличии в задаче множества оптимальных планов).