Алгоритм решения задачи
Пусть
дана неособенная матрица А=
( i,
j
= 1,2,…,n
) (1)
Для
нахождения ее обратной матрицы
(2)
используем основное соотношение
(3) , где Е — единичная матрица.
Перемножая
матрицы А и
,
будем иметь n
систем уравнений относительно
неизвестных
.
(
i, j = 1,2,…,n )
где
Полученные n систем линейных уравнений для j = 1,2,…,n , имеющих одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1. В результате умножения матриц должна получиться единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Постановка задачи
Найти приближённо обратную матрицу для матрицы А с точностью до 0,001 по схеме единственного деления.
А=
Решение
Для удобства поместим вычисления в таблицу .
а1 |
а2 |
а3 |
а4 |
j1 |
j2 |
j3 |
j4 |
∑по строке |
∑контр |
3,51 |
0,17 |
3,75 |
-0,28 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8,15 |
8,15 |
4,52 |
2,11 |
-0,11 |
0,12 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7,64 |
7,64 |
-2,11 |
3,17 |
0,12 |
-0,15 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2,03 |
2,03 |
3,17 |
1,81 |
-3,17 |
0,22 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3,03 |
3,03 |
1 |
0,048433 |
1,068376 |
-0,07977 |
0,2849 |
0 |
0 |
0 |
2,32193732 |
2,32193732 |
0 |
-1,891083 |
4,93906 |
-0,48057 |
1,287749 |
-1 |
0 |
0 |
2,8551567 |
2,8551567 |
0 |
-3,272194 |
-2,37427 |
0,318319 |
-0,60114 |
0 |
-1 |
0 |
-6,92928775 |
-6,92928775 |
0 |
-1,656467 |
6,556752 |
-0,47288 |
0,903134 |
0 |
0 |
-1 |
4,33054131 |
4,33054131 |
|
1 |
-2,61176 |
0,254124 |
-0,68096 |
0,528798 |
0 |
0 |
-1,50980008 |
-1,50980008 |
|
0 |
10,92047 |
-1,14986 |
2,829369 |
-1,73033 |
1 |
0 |
11,8696461 |
-11,8696461 |
|
0 |
-2,23045 |
0,051929 |
0,224852 |
-0,87594 |
0 |
1 |
-1,82960694 |
1,82960694 |
|
|
1 |
-0,10529 |
0,259089 |
-0,15845 |
0,091571 |
0 |
1,08691731 |
-1,08691731 |
|
|
0 |
0,182925 |
-0,80274 |
1,229347 |
-0,20425 |
-1 |
-0,59471007 |
-0,59471007 |
|
|
|
4 |
-4,38835 |
6,72051 |
-1,11655 |
-5,46673 |
|
|
|
|
|
3 |
-0,20298 |
0,549183 |
-0,026 |
-0,57562 |
|
|
|
|
|
2 |
-0,09591 |
0,255289 |
0,215849 |
-0,11414 |
|
|
|
|
|
1 |
0,156336 |
-0,06299 |
-0,07175 |
0,184409 |
|
|
Проверим правильность вычислений
А=
*
А-1
=
=
Так как в результате умножения матриц получилась единичная матрица, следовательно, вычисления произведены правильно.