8.5. Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики

При анализе рядов динамики необходимо решить одну из важнейших задач статистики – определить основную тенденцию развития (тренд).

Основная тенденция развития (тренд ряда динамики) – это общее направление в изменении уров­ней ряда.

Уровни ряда динамики формируются под влиянием многих факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени действия.

Среди действующих факторов выделяются факторы:

• основные (главные) – определяют закономерность (тенденцию) развития;

• случайные – вызывают колебания уровней.

Таким образом, при анализе рядов динамики различают три компоненты:

• основная тенденция развития, или тренд (изменения, определяющие общее направление развития);

• периодически повторяющиеся колебания (сезонные колебания);

• случайные колебания (возникают под влиянием внешних факторов и вызывают колебания уровней относительно тренда).

При изучении рядов динамики необходимо разделить эти компоненты и выявить основную закономерность развития явления, т.е. выявить общую тенденцию в изменении уровней, освобожденную от действия случайных факторов. Выявление основной тенденции развития в статистике называ­ется выравниванием ряда динамики.

Таким образом, при изучении основной тенденции ряда динамики решаются следующие задачи:

1. выявление основной тенденции развития;

2. измерение выявленного тренда, т.е. его обобщающая количественная оценка.

Эти задачи решаются с помощью следующих методов выравнивания (сглаживания) рядов динамики:

• метод укрупнения интервалов;

• метод скользящей средней (механическое сглаживание);

• метод аналитического выравнивания.

В этих методах при обработке вместо фактических уровней ряда определяются расчетные уровни, освобожденные от действия случайных факторов. В результате уменьшается колеблемость уровней. Они становятся как бы «выровненными», «сглаженными» по отношению к исходным данным.

Метод укрупнения интервалов – основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Происходит переход от перво­начального ряда к ряду с временными промежутками. Уровни нового ряда получаются путем суммирования уровней исходного ряда, либо путем расчета средних величин из этих уровней. Например, месячные данные заменяют кварталь­ными, квартальные – годовыми и т.д. В результате от­клонения в уровнях исходного ряда, возникающие под действием случай­ных причина, сглаживаются. Более четко прослеживается основная тенденция. Обнаруживается дей­ствие основных факторов, определяющих эту тенденцию.

Замечание. Если ряд является моментным или уровни вы­ражены относительной (средней) величиной, то суммирование уровней не имеет смысла. Тогда по укрупненным интервалам рас­считывают средние показатели.

При использовании этого метода число уровней ряда существенно сокращается. Не учитывает­ся изменение уровней внутри укрупненных интервалов. Поэтому для более детальной характеристики тенденции используют выравнивание ряда с помощью скользящей (подвижной) средней.

Метод скользящей средней – последовательный расчет средних величин постепенно охватывающих последующие периоды времени. Состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими величинами за отдельные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения: последова­тельно смещают начало отсчета на единицу времени, т.е. посте­пенно исключают из интервала первые уровни и включают после­дующие. В результате получается средняя, относящаяся к середине укрупненного интервала.

Например, трехлетняя скользящая средняя имеет вид:

• для первого интервала -

• для второго интервала -

• для третьего интервала - и т.д.

В результате сглаживания получается ряд динамики, количе­ство уровней которого меньше, чем у исходного. Фактические уровни заменяются расчетными, которые имеют меньшую колеблемость. Случайные колебания погашаются, и основная тенденция выражается в виде плавной линии.

Таким образом, методы укрупнения интервалов и скользящей средней позволяют выявить тренд, но не помогают его измерить. В этом случае применяется метод аналитического выравнивания, который позволяет измерить тренд, т.е. дать его обобщенную статистическую оценку.

Метод аналитического выравнивания – наиболее эффективный метод выявления основной тенденции. Заключается в построении аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени . При этом фактические (эмпирические) уровни ряда заменяются теоретическими , которые рассчитаны на основе математической функции. По сути, эти уровни рассчитываются по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда.

Каждый фактический уровень можно рассматривать как сумму двух составляющих:

- - систематическая составляющая, отражающая тренд и выкраденная определенным уравнением;

- - случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задачи аналитического выравнивания:

• определение на основе фактических данных вида функции , наиболее адекватно отражающей тенденцию ряда;

• нахождение параметров указанной функции (уравнения) по фактическим (эмпирическим) данным;

• расчет теоретических (выровненных) уровней по найденному уравнению.

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе, так называемой, адекватной математической функции. Она должна наилучшим образом отразить основную тенденцию ряда динамики.

Проблемой, требующей своего решения при при­менении этого метода, является под­бор математической функции, по которой рассчитываются те­оретические уровни тренда.

От правильности решения данной проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучае­мого явления. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития, то мо­дель тренда может иметь практическое применение при изучении сезонных колебаний, прогнозировании и других целях.

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции определяется характером динамики развития конкретного явления.

Наиболее приемлемой для выравнивания является функция, соответствующая тенденции основных показателей динамики (абсолютный прирост, темпы роста и прироста).

Выбор вида уравнения зависит от показателей динамики:

1) равномерное развитие - если относительно стабильны абсолютные приросты const (пер­вые разности уровней приблизительно равны), то сглаживание мо­жет быть выполнено по прямой:

,

где и - параметры уравнения; t – обозначение времени.

Параметр - коэффициентом регрессии, опреде­ляющий направление развития. Если > 0, то уровни ряда равномерно возрастают; если < 0, то происходит равномерное снижение уровней;

2) равноускоренное (равнозамедленное) развитие - если относительно стабильны темпы роста (вторые разности уровней приблизительно равны), то сглаживание может быть выполнено можно по параболе второго порядка:

.

Параметр характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). Например, при > 0 происходит ускорение раз­вития, а при < 0 - процесс замедления роста. Параметр a₁ может иметь как знак плюс, так и знак минус;

3) развитие с переменным ускорением (замедлением) - при ускоренно возрастающих (замедляющихся) абсолютных приростах применяют параболу третьего порядка:

;

Параметр а₃ отображает изменение ус­корения: при а₃ > 0 ускорение возрастает, а при а₃ < 0 - уско­рение замедляется;

4) развитие по экспоненте - при относительно стабильных темпах роста ( = const) применяют показательную функцию:

,

где - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития.

5) развитие с замедлением в конце периода – когда показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики , то для описания характера тренда выбирают гиперболу вида и т.д.

Если по разным причинам уровни эмпирического ряда сложно описать математически одной функцией, то следует разбить исследуемый период на отдельные части. А затем, выровнять каждую часть по соответствующей кривой.

На практике выбор формы кривой может быть основан на анализе графического изображения уровней ряда (линейной диаграммы). При этом следует воспользовать­ся графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные колебания погашены.

После выбора вида уравнения необходимо определить его параметры. Чаще всего их определяют, решая систему нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов (МНК). При использовании данного метода необходимо, чтобы, сумма квадратов отклонений фактических уровней от теоретических была наименьшей

В табл. 8.4 представлены основные функции, которые используются в качестве модели тренда, и системы нормальных уравнений для определения параметров уравнения тренда.

Таблица 8.4