1. При повторном отборе:

1.1. Средняя ошибка выборочной средней :

1.2. Средняя ошибка выборочной доли :

2. При бесповторном отборе:

2.1. Средняя ошибка выборочной средней :

2.2. Средняя ошибка выборочной доли :

где - дисперсия признака в генеральной совокупности;

- объем выборки;

- выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком; дисперсия доли (альтернативного признака).

Замечание. На практике величина дисперсии признака в генеральной совокупности , как правило, неизвестна. Поэтому в формулы ошибки выборки подставляют дисперсию выборочной совокупности . Это возможно, поскольку между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей существует следующая взаимосвязь:

При большой численности выборочной совокупности сомножитель стремится к единице, и выборочная дисперсия практически совпадает с генеральной , т.е. .

Замечание. Поскольку при бесповторном отборе в ходе выборки объем генеральной совокупности сокращается, то в формулу для расчета средней ошибки включают дополнительный множитель .

Средняя ошибка выборки при собственно-случайном повторном отборе зависит от:

- объема выборки (обратная зависимость);

- степени вариации признака (прямая зависимость).

Чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки. Для ее уменьшения необходимо увеличить объем выборочной совокупности.

Формулы расчета средних ошибок для различных методов отбора приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Формулы средних ошибок для различных методов отбора

Метод отбора	Оцениваемый параметр	Вид отбора
		повторный	бесповторный
Собственно-случайный и механический	средняя
	доля
Типический (пропорциональный)	средняя
	доля
Серийный	средняя
	доля
Комбинированный: - типический и серийный - собственно-случайный и серийный	cредняя
	cредняя

Условные обозначения в таблице:

- средняя из групповых дисперсий;

доля единиц i-й типической группы (серии) выборки, обладающих изучаемым признаком;

- средняя из групповых дисперсий для доли.

М, m – количество равных серий соответственно в генеральной и выборочной совокупностях;

- межгрупповая выборочная дисперсия,

где средняя в i-й серии; общая выборочная средняя;

- межгрупповая выборочная дисперсия доли, где - доля единиц, обладающих признаком в выборке. При равновеликих сериях

Следует иметь в виду, что в каждой конкретной выборке разность может быть меньше, больше или равна величине средней ошибки . Вероятность такой ошибки различна. Поэтому рассчитывают предельную ошибку выборки .

Предельная ошибка выборки - это максимально возможное расхождение характеристик выборочной (средняя , доля ) и генеральной совокупности (средняя , доля ), т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

Величина предельной ошибки определяется по формуле:

где - коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интеграла Лапласа при заданной доверительной вероятности Он показывает, во сколько раз предельная ошибка выборки отличается от средней ошибки.

Соответственно, формулы предельной ошибки для средней и доли , имеют вид:

Значения интеграла Лапласа табулированы в зависимости от значений коэффициента (Приложение 2). Поэтому на практике пользуются готовыми таблицами значений. Приведем наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие им значения :

	1,0	1,96	2,0	2,58	3,0
	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Таким образом, предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, величина которой зависит от значения коэффициента доверия t.

Например, при t = 1 с вероятностью 0,683 можно утверждать, что расхождение между выборочными и генеральными характеристиками не превысит одной величины средней ошибки выборки, т.е.

При t = 2 вероятность =0,954, значит, в среднем 954 выборки из 1000 дадут показатели выборки (средняя , доля ), которые будут отличаться от генеральных показателей (средняя , доля ) не более чем на величину двукратной средней ошибки выборки, т.е. или

Появление ошибки в три раза большей, чем средняя ошибка выборки, маловероятно (1-0,997=0,003), и считается практически невозможным событием.

Пределы, в которых с данной вероятностью будет находиться неизвестная величина изучаемого показателя генеральной совокупности, называют доверительным интервалом, а вероятность - доверительной вероятностью.

В качестве доверительной вероятности обычно принимают значения вероятностей Р и соответствующие им уровни значимости (табл. 7.3)

Таблица 7.3