Введение

Какими бы ценными свойствами не обладали системы железнодорожной автоматики, телемеханики и связи (СЖАТС), эффективность их применения может быть сведена к нулю, если эти устройства будут работать ненадежно.

Надежность работы различных систем и элементов зависит от весьма многочисленного и разнообразного количества факторов, определяемых как внутренними свойствами, так и внешними условиями. Поэтому процессы возникновения отказов носят случайный характер, для определения и описания которого используется аппарат и терминология теории вероятностей.

Тенденция усложнения СЖАТС, довольно жесткие условия эксплуатации и высокая цена отказа (для систем, обеспечивающих безопасность движения поездов) привели к тому, что надежность аппаратуры стала определяющим фактором обеспечения эффективного использования этих систем.

Знания общей теории надежности, а наилучшим методом изучения теории является решение практических задач, позволяет в прикладных дисциплинах рассматривать методы и способы обеспечения надежности. Методы и способы повышения надежности СЖАТС базируются на общих принципах теории надежности, имея при этом некоторую специфику.

1.Количественные характеристики надежности.

Задача №1.1.1

На испытание поставлено N₀=1600 образцов неремонтируемой аппаратуры Число отказов n(∆t) фиксировалось через каждые 100 часов работы ∆t=100. Данные об отказах приведены в таблице 1.1. При этом к величине n(∆t) необходимо прибавить номер варианта (номер варианта №=2).

Требуется определить следующие критерии надежности:

• Вероятность безотказной работы P(t);

• Вероятность отказа q(t);

• Интенсивность отказов λ(t);

• Частоту отказов f(t);

• Среднее время безотказной работы Tср

Построить зависимости P(t), q(t), λ(t), f(t).

Решение

Табл. 1.1

∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)
0-100	50	500-600	30	1000-1100	20	1500-1600	18
100-200	45	600-700	25	1100-1200	19	1600-1700	19
200-300	40	700-800	22	1200-1300	19	1700-1800	18
300-400	37	800-900	21	1300-1400	18	1800-1900	20
400-500	33	900-1000	22	1400-1500	19	1900-2000	24

Для варианта №2 получаем следующие данные:

Табл. 1.2

∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)	∆ti	n(∆t)
0-100	52	500-600	32	1000-1100	22	1500-1600	20
100-200	47	600-700	27	1100-1200	21	1600-1700	21
200-300	42	700-800	24	1200-1300	21	1700-1800	20
300-400	39	800-900	23	1300-1400	20	1800-1900	22
400-500	35	900-1000	24	1400-1500	21	1900-2000	26

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условий эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа: P(t)=P(T>t)

Где: t – время, в течении которого определяется вероятность безотказной работы;

T – Время работы одного изделия от его включения до первого отказа. Статически P(t) оценивается выражением: P(t)=[N₀ – n(t)]/ N₀

Где: N₀ – количество изделий в начале испытаний;

n(t) – количество отказавших изделий за время t;

Сведем полученные результаты в таблицу:

Табл. 1.3

∆ti	p(t)	∆ti	P(t)	∆ti	p(t)	∆ti	p(t)
0-100	0.9675	500-600	0.8456	1000-1100	0.770625	1500-1600	0.70625
100-200	0.938125	600-700	0.82875	1100-1200	0.7575	1600-1700	0.693125
200-300	0.911875	700-800	0.81375	1200-1300	0.744375	1700-1800	0.680625
300-400	0.8875	800-900	0.799375	1300-1400	0.731875	1800-1900	0.666875
400-500	0.865625	900-1000	0.784375	1400-1500	0.71875	1900-2000	0.650625

Построим гистограмму p(t): рис 1.1

Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ:

Q(t)=P(T≤t)

Статистически Q(t)=n(t)/ N₀

Отказ и безотказная работа являются событиями противоположными и несовместимыми, поэтому Q(t)=1-P(t)

Результаты расчетов сведем в таблицу:

Табл. 1.4

∆ti	q(t)	∆ti	q(t)	∆ti	q(t)	∆ti	q(t)
0-100	0.0325	500-600	0.154375	1000-1100	0.229375	1500-1600	0.29375
100-200	0.061875	600-700	0.17125	1100-1200	0.2425	1600-1700	0.30688
200-300	0.088125	700-800	0.18625	1200-1300	0.255625	1700-1800	0.31938
300-400	0.1125	800-900	0.200625	1300-1400	0.268125	1800-1900	0.333
400-500	0.134375	900-1000	0.215625	1400-1500	0.28125	1900-2000	0.34938

Построим гистограмму: Рис1.2

Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются:

f(t)=n(∆t)/ N₀*∆t

где n(∆t) – число отказавших изделий в интервале времени от t-∆t/2 до t+∆t/2 (задано в таблице 1.1)

Результаты вычислений сведем в таблицу: табл. 1.5

∆ti	f(t)*10-3	∆ti	f(t)*10-3	∆ti	f(t)*10-3	∆ti	f(t)*10-3
0-100	0.325	500-600	0.2	1000-1100	0.138	1500-1600	0.125
100-200	0.294	600-700	0.169	1100-1200	0.131	1600-1700	0.131
200-300	0.263	700-800	0.15	1200-1300	0.131	1700-1800	0.125
300-400	0.244	800-900	0.144	1300-1400	0.125	1800-1900	0.138
400-500	0.219	900-1000	0.15	1400-1500	0.131	1900-2000	0.163

Построим гистограмму: рис 1.3

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный промежуток времени.

λ(t_i)=n(∆t)/ N_cpi*∆t_i

Где N_cpi – среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t_i

N(t_i-1)+N(t_i)

N_cpi = ——————

2

где N(t_i-1) – число изделий, исправно работающих в момент времени t_i-1;

N(t_i) – число изделий, исправно работающих в конце интервала t_i;

Результаты расчетов сведем в таблицу: Табл. 1.6

∆ti	λ(t)*10-3	∆ti	λ(t)*10-3	∆ti	λ(t)*10-3	∆ti	λ(t)*10-3
0-100	20	500-600	9.552	1000-1100	9.565	1500-1600	9.756
100-200	9.495	600-700	9.153	1100-1200	9.767	1600-1700	10.244
200-300	9.438	700-800	9.412	1200-1300	10	1700-1800	9.756
300-400	9.63	800-900	9.787	1300-1400	9.756	1800-1900	10.476
400-500	9.459	900-1000	10.213	1400-1500	10.244	1900-2000	10.833

Построим гистограмму: рис 1.4

Оценочное значение средней наработки до первого отказа по статистическим данным вычисляется по формуле:

T_cp=∑t_i/ N₀

Где t_i - время безотказной работы i-го образца;

В нашем случае удобнее воспользоваться формулой:

T_cp=42,25

Где: m – число интервалов;

t_cpi=( t_i-1+ t_i)/2 – среднее время исправной работы элементов отказавших в iм, интервале времени;

t_i-1 – время начала iго интервала;

t_i – время конца iго интервала;

Задача №1.1.2.

По данным статистики, из задачи №1 определить теоретические коэффициенты для закона λ(t).

Решение.

По виду характеристика λ(t). Распределена по экспоненциальному закону: λ(t)=А+В*е^-kt;

Рис 11.1

При t=0: λ(0)=А+В

При t  ∞ : λ(∞)=А

Из таблицы в задаче 1 видно:

λ(0)=0,02

λ (2000)=0,011, тогда А=0,011

В= λ(0)-А=0,009

Зная А и В можно найти k: ; где t₁=1250 и λ=0.01

k=3.12*10^-3

Построим теоретический график: Рис 11.2

Задача №1.2

При эксплуатации системы автоматики было зафиксировано n=25+j+2*k отказов (j – номер варианта, k – номер группы) в течении t=(600+j+2*k) часов. При этом распределение отказов по элементам и время, затраченное на их устранение (время восстановления), приведены в таблице 2.1

Табл. 2.1

Элементы системы	Количество отказов - ni	Время восстановления tв мин	Суммарное время восстановления ti
Полупроводниковые элементы	6	34 24 25 22 23 21
Реле	3	14 16 12
Резисторы	9		112
Конденсаторы	11		170
Провода	7		90
Пайка	2		116

Требуется определить:

• Среднее время восстановления t^*_вс;

• Среднюю наработку на отказ – T₀;

• Коэффициент готовности (k_r), использования (k_и), простоя (k_п);

Решение

n=31

t=36360 мин

Среднее время восстановления представляет собой математическое ожидание времени восстановления:

Статическая оценка среднего времени восстановления:

где: t_Bi – длительность восстановления iго изделия;

n_B – число восстановлений;

В том случае, если известно распределение отказов отдельных элементов системы и время, затраченное на их устранение (время восстановления), то:

где: – среднее время восстановления j группы элементов;

n_j – число отказов по j группе элементов;

t_i – время восстановления iго отказа j группы;

m_j – вес отказа по j группе элементов

n – общее число отказов системы;

T^*_B=17,87 мин

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами:

и

где: t_i – время исправной работы изделия (i-1) –м и i –м отказами;

n – число отказов за некоторое время t;

Если на испытание поставлено N₀ образцов, то:

где: t_ij – время исправной работы j образца изделия между (i-1) и iм отказом;

n_j – число отказов за время t_i образца;

T₀=938,97

Коэффициент готовности:

Где: t_pi – время работы изделия между (i-1)м и iм отказом;

T_bi – время восстановления после iго отказа;

n – число отказов изделия;

В том случае, если поток отказов простейший, то K_г обычно считают по формуле:

T₀^*

K_г= ———— K_г=0,981

T₀^*+ T_B^*

где: T_B^* - среднее время восстановления;

Статическая оценка коэффициента использования определяется:

K_и=0.953

Где: t_ni – время затрачиваемое на проведение iго профилактического мероприятия;

K – число профилактических мероприятий;

t_K – время, затрачиваемое проведения контроля;

Коэффициент простоя К_п:

К_п=1- К_и К_п=0,047

Задача №1.3

Время работы до отказа подчинено усеченному нормальному закону с параметрами T₁=1000+200*K*(-1)^k -(-1)^j100j (где К-номер группы; j- номер варианта) σ=1500+200*K+ (-1)^j*25j

Требуется вычислить и построить графики P(t), f(t), λ(t), а также определить среднее время работы до первого отказа - T_ср

Решение:

T₁=9800; σ=1950;

Для усеченного нормального закона, P(t) можно найти по формуле:

Где

В результате вычислений получаем следующий график: Рис 3.1

Определим частоту отказов по следующей формуле:

График функции f(t) имеет следующий вид: Рис 3.2

Рассчитаем интенсивность отказов λ(t):

График интенсивности отказов: Рис 3.3

Вычислим среднюю наработку до первого отказа по формуле:

T_ср=9.8*10³

*10⁴

Задача №1.4

В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что один из критериев надежности определяется выражением, которое выбирается в соответствии с номером группы и вариантом.

Требуется найти остальные количественные характеристики надежности – p(t), f(t), λ(t), f_cp(t), T_cp. Построить графики p(t), f(t), λ(t), f_cp(t).

Решение.

Варианту номер 2 соответствует функция: f(t)=3λ *e ^{- λt}(1- e ^{– λt})²

Где: λ= 0.8*10^-6

Частота отказов есть плотность ( или закон распределения) вероятности времени работы изделия до первого отказа. Построим график f(t): Рис 4.1

Вероятность безотказной работы и частота отказов связаны между собой :

Построим график вероятности безотказной работы : Рис 4.2

Вероятностная оценка интенсивности отказов определяется выражением:

Построим график интенсивности отказов: Рис 4.3

Определим f_cp(t):

Построим график f_cp(t): Рис 4.4

Найдем среднюю наработку до первого отказа T_cp:

T_cp=8.694*10⁶