5 Створення геометричної моделі

5.1 Створення геометричної моделі

5.1.1 Твердотільне моделювання

SolidWorks створювалася як система твердотільного параметричного моделювання. Програма містить всю необхідну номенклатуру інструментів, причому деякі можливості вкрай ефективні для розробки об'єктів, орієнтованих на наступне використання програм розрахунку. Це проектування виробів з листового матеріалу, зварені деталі. Вони дозволяють одержати моделі, досить близькі до вимог даних інструментів. Підмножина функцій, орієнтованих на роботу з криволінійними об'єктами: інструменти сплайнів, команди створення тіл,криволінійні поверхні, що мають, процедури забезпечення гладкості,побудови збірок, дозволяють - в абсолютній більшості випадків с прийнятною точністю виготовити моделі для аерогідродинамічного аналізу або світлотехніки (у завданнях розрахунку на міцність якість представлення поверхні має трохи менш принциповий фактор).[6]

Починаючи з версії 2003 року, в SolidWorks з'явився багатотільний режим. Він істотно розширив можливості користувача при створенні геометричних моделей. Однак далеко не всі розрахункові системи підтримують цю функціональність. Наприклад, COSMOSMotion обробляє многотільні деталі, починаючи з версії 2005 року.

SolidWorks створює конфігурації об'єктів. Інтегровані модулі в абсолютній більшості адекватно обробляють цю функціональність, дозволяючи розраховувати різноманітні виконання розрахункових моделей, а, наприклад, COSMOSWorks 2005 здатний одночасно відображати результати декількох розрахунків. Крім того, параметричне подання геометрії в CAD-Системі дозволило органічно включити в COSMOSWorks модуль параметричної оптимізації, а також інструмент сценаріїв проектування. Останні призначені для вивчення того, як впливає зміна форми, граничних умов, типів матеріалів і т.д. на властивості конструкції. Один з напрямків розвитку SolidWorks, пов'язане з більше повним обліком "візуальних" властивостей матеріалів, знайшло логічне продовження в інтегральній базі даних, що включає як інформацію про колір, прозорість, текстуру, так і щільності, характеристиках пружності й міцності (у версії продуктів 2005 року спільною є підмножина характеристик, що описують пружні властивості).[1]

Навіть перелічити всі можливості SolidWorks, які можуть бути корисні

при створенні розрахункових моделей, дуже важко. Рекомендується звернутися до документації програми, оскільки кваліфікована робота із прикладними програмами вимагає впевненого володіння базовою функціональністю.

Користуючись можливостями твердотільного моделювання, в даній роботі

були створені геометричні моделі досліджуваної деталі: рис.5.1, рис.5.2

рис.5.1. 3-D модель корпусу гідравлічного амортизатора.

Рис.5.2. 3-D модель корпусу гідравлічного амортизатора у розрізі.

5.2 Вибір методу дослідження

Метод кінцевих елементів (МКЕ) у наш час є стандартом при рішенні завдань механіки твердого тіла за допомогою чисельних алгоритмів.

МКЕ зайняв лідируюче положення завдяки можливості моделювати широке коло об'єктів і явищ. Абсолютна більшість конструктивних елементів, вузлів і конструкцій, виготовлених з найрізноманітніших матеріалів, що мають різну природу, можуть бути розраховані за допомогою МКЕ. При цьому, зрозуміло, потрібно враховувати неминучі при будь-який чисельній апроксимації умовності й погрішності. Тому питання відповідності між розрахунковою моделлю й реальністю є, мабуть, основним при використанні програм аналізу.

Виробляється дискретизація обсягу, займаного деталлю або збіркою на елементи, або, як говорять, будується сітка кінцевих елементів. Для об'ємного тіла область розбивається (у рамках функціональності COSMOSWorks) на тетраедри із гранями , апроксимуючими лінійними (лінійність залежність від координат) або параболічними функціями координат. Для поверхневих моделей - на плоскі (лінійна) або криволінійні (параболічна залежність) трикутники.

Обчислюються матриці твердості кінцевих елементів. У формули для

розрахунку компонентів матриць твердості кінцевих елементів крім координат вузлів входять модулі пружності й коефіцієнти

Після того як складена система диференціальних і/або інтегральних

рівнянь, що описує з математичної точки зору рух і теплообмін текучого середовища, наступний крок - рішення даної системи рівнянь.

Відповідно, метод дискретизації безперервного рішення, перетворення рівнянь в алгебраїчні й рішення отриманої системи алгебраїчних рівнянь є методом рішення математичного завдання, поставленого в математичній моделі розглянутих фізичних процесів.

5.2.1 Поняття кінцевого елементу

В основі методу лежить дискретизація об'єкта з метою рішення рівнянь механіки суцільного середовища в припущенні, що ці співвідношення виконуються в межах кожної з елементарних областей [3]. Ці області називаються кінцевими елементами. Вони можуть відповідати реальній частині простору, як, наприклад, просторові елементи (рис. 5.2, 5.3), або ж бути математичною абстракцією, як елементи стрижнів, балок, пластин або оболонок (рис. 5.4). У межах кінцевого елемента призначаються властивості обмеженої ділянки об'єкта (це можуть бути, наприклад, характеристики твердості й міцності матеріалу, густина і т.д.) і описуються поля потрібних величин,(стосовно до механіки твердого тіла це переміщення, деформації, напруги і т.д.). Параметри з другої групи призначаються у вузлах елемента, а потім вводяться функції інтерполяції, за допомогою яких відповідні значення можна обчислити в будь-якій точці усередині елемента або на його границі. Завдання математичного опису елемента зводиться до того, щоб зв'язати діючі у вузлах фактори [4]. у механіку суцільного середовища це, як правило, переміщення й зусилля. Розглянемо прямий метод побудови рівнянь.

Рис. 5.2. Об'ємний лінійний Рис. 5.3. Об'ємний параболічний

кінцевий елемент кінцевий елемент

Рис. 5.4. Параболічний кінцевий елемент поверхні

1. Поле переміщень А в межах елемента (для просторового завдання Δ=[u,v,w]) за допомогою інтерполяційних функцій (у так званих ізопараметричних кінцевих елементах, які використовуються, зокрема, в COSMOSWorks [5]), зібраних у матрицю [N], виражається через вузлові переміщення {Δ} . Зміст інтерполяційних функцій полягає в тому, щоб, знаючи величини, наприклад, переміщень у вузлах, отримати їхні значення в будь-якій точці елемента залежно від координат. У матричному виді співвідношення мають вигляд:

(5.1)

для просторового завдання {Δ} = [u₁,v₁,w₁,u₂,v₂,w₂,...,u_k,v_k,w_k ], де

k — число вузлів кінцевого елемента.

2. Поле деформацій ε виражається через ступені свободи {Δ} за допомогою диференціювання поля переміщень (а фактично інтерполяційних функцій) відповідно до співвідношень, зібраним у матрицю [D] і єднальної деформації з переміщеннями:

(5.2)

3. З урахуванням рівнянь стану, в основі яких лежить закон Гука, та коефіцієнти яких утворять матрицю [E], встановлюється зв'язок спочатку між полем напруг і полем деформацій:

(5.3)

а потім і між напругами й ступенями волі у вузлах:

(5.4)

4. Формулюються вираз для сил {F}, що діють у вершинах елемента, залежно від поля напруг σ, для чого використовується матриця переводу напруг у вузлові сили [A]:

(5.5)

5. Зв'язуються вираз для вузлових сил і переміщень у вузлах:

(5.6)

де [k] = [А] •·[Е] • [D] — матриця жорсткості кінцевого елементу.

6. Для додання матриці [k] властивості симетрії домагаємося заміни матриці переводу твердості матрицею, транспонованої до матриці переводу переміщень до деформації [D]. Тоді:

(5.7)

Перераховані залежності дозволяють, знаючи переміщення у вузлах, отримати величини сил, а також вирішити зворотню задачу: за силами знайти переміщення, потім деформації й напруги в межах кінцевого елемента.

Пряме формулювання, як правило, використовується для одержання матриць твердості кінцевих елементів стрижнів, балок і пластин, а також для опису процесу теплопровідності. Для одержання матриць твердості просторових елементів найбільш часто використовуються варіаційні принципи, наприклад, принцип мінімуму потенційної енергії. Отримана в такий спосіб матриця твердості з пункту 6 тут буде обчислюватися як:

(5.8)

Проблема інтегрування по обсязі тіла складної форми або ж, у випадку оболонкових елементів, - по криволінійній поверхні вирішується за рахунок того, що вираз записуються в локальній системі координат, пов'язаної з елементом ξ, ψ, η причому координати змінюються в інтервалі [-1,+1].

При цьому вираз для елементарного обсягу отримує вид:

де |J| - визначник матриці Якобі, або якобіан перетворення. Тоді:

(5.9)

Аналітичний розрахунок інтегралів у виразі для матриці твердості неможливий навіть для трикутників із криволінійними сторонами. Тому проводиться чисельне інтегрування. Воно полягає в заміні інтеграла сумою добутків підінтегральних виразів, обчислених у точках Гауса або в деякій іншій системі точок на відповідні вагові коефіцієнти. Цей процес супроводжується розрахунком величини визначника якобіана. Негативна величина є наслідком виродженості даного кінцевого елемента. Як правило, інформація про дану обставину міститься у діагностичному повідомленні програми.[6]

Приклади кінцевих елементів COSMOSWorks наведені на ілюстраціях: об'ємний тетраедральний з лінійним полем переміщень у межах обмеженої області (і, відповідно, постійною деформацією) - на рис. 5.2, об'ємний тетраедральний з параболічним полем переміщень (лінійним розподілом деформацій) — на рис. 5.7, трикутний елемент оболонки з параболічним полем переміщень і кутів повороту — на рис. 6.4. На малюнках також позначені локальна система координат елемента ξ, ψ, η глобальна система координат тіла X,Y,Z, переміщення в локальній: u,v,w, для оболонкового, також кути повороту до локальних осей у вузлі Θ_ξ, Θ_ψ, Θ_η і в глобальній: U,V,W системах координат.