Свойства информационной матрицы Фишера

Нормированная информационная матрица Фишера имеет вид:

Здесь p_i – относительная частота встречаемости в плане точки . Т.к. план непрерывный, то p_i – любое число.

‑ функция эффективности, которая характеризует изменение точности измерения величины y в зависимости от точки факторного пространства.

Нормированная дисперсионная матрица связанна с :

;

‑ информационная матрица однократных наблюдений.

Можно показать:

1) Если спектр плана (точки ) содержит меньше чем m различных точек , то ‑ вырожденная (или особенная) матрица: и она не имеет обратной матрицы.

План соответствий вырожденной матрицы , называется вырожденным планом.

Т.о. при проведении эксперимента нужно, чтобы количество точек в которых производятся измерения, было бы больше m:

2) Для любого плана всегда найдётся план , спектр которого содержит не более чем 0,5m(m+1)+1 точек и информационная матрица которого совпадает с информационной матрицей , а, значит, совпадают и дисперсионные матрицы, которые характеризуют точность определения коэффициентов регрессионной модели .

Это свойство весьма важно с практической точки зрения. Оно показывает, что увеличение числа измерений больше величины N=0,5m(m+1)+1 с точностной точки зрения никакой выгоды не даёт. Вместе с тем, как следует из п.3. N>m.

Теорема эквивалентности Кифера-Вольфовитца

Каждый из перечисленных выше критериев оптимальности имеет свои достоинства. Вообще говоря, не существует планов , одновременно оптимизирующих все критерии оптимальности. Однако некоторые критерии тесно связаны между собой и для них можно указать единые оптимальные планы.

Рассмотрим теорему Кифера-Вольфовица.

На множестве непрерывных планов эквивалентны следующие утверждения:

1. План минимизирует определитель дисперсионной матрицы . D‑оптимальный план.

2. План минимизирует . G‑оптимальный план.

3. .

здесь m – размерность факторного пространства.

Из теоремы Кифера-Вольфовитца следует, что при равноточных измерениях, т.е. при , D‑оптимальный и G‑оптимальный планы эквивалентны – т.е. минимум и минимум достигнут на одном и том же плане .

Во всех точках оптимального плана функция достигает своего максимального значения m.

Теорема Кифера-Вольфовитца оказалась удобным средством для определения конкретных оптимальных планов.

Линейная регрессия. Д – оптимальный план на кубе.

Изучается процесс, в котором измеряемая величина y зависит от координат x₁, x₂, … ,x_m вектора факторного пространства.

Предполагается, что поверхность отклика имеет вид

‑ неизвестные параметры, которые подлежат определению.

Область действия факторного пространства задаётся в виде m – мерного куба, ограниченного неравенствами:

Измерение y в разных точках производится с одинаковой точностью ². Если ввести фиктивную переменную x_o=1, то поверхность отклика запишется:

Можно доказать, что для рассмотриваемого случая спектр одного из возможных D– оптимальных планов содержит все вершины m – мерного куба с добавлением координаты x_o=1. Всего таких вершин 2^m и в каждой вершине производится одинаковое число измерений:

Докажем это утверждение для m=3.

И для этого используем 3-ий пункт теоремы Кифера-Вольфовитца.

(x₁, x₂, x₃)

xi	N	x0	x1	x2	x3
	1	1	1	1	1
	2	1	1	1	-1
	3	1	1	-1	1
	4	1	1	-1	-1
	5	1	-1	1	1
	6	1	-1	1	-1
	7	1	-1	-1	1
	8	1	-1	-1	-1

i – тая строка содержит координаты точки , входящие в спектр плана. Причём значения 4, 5, 6 столбцов соответствуют i – той вершине куба.

Найдём информационные матрицы однократного наблюдения:

Тогда нормированная информационная матрица

Т.к. , то ,

1+m=4

Т.к. 3 пункт теоремы Кифера-Вольфовитца выполняется, то план, реализуемый в вершинах m‑мерного куба будет D ‑ оптимальный.