7. Оценка дисперсии результатов наблюдения.

Определения и свойства МНК-оценок и НЛН-оценок, рассмотренные ранее, относились к случаю, когда заранее известна дисперсия каждого измерения величины у. Такая ситуация встречается далеко не всегда. Поэтому рассмотрим методы получения наилучших оценок при заранее неизвестных дисперсиях измерений.

1. Рассмотрим случай равноточных измерений, когда

(i=1,…,n) (1.23)

Само значение неизвестно. Предполагается, что в точке факторного пространства может быть проведено r_i измерений. Если область действия Х факторного пространства, в которой производятся измерения - невелика, то предположение о равноточности измерений вполне оправдано.

Несмещенной оценкой для дисперсии будет:

(1.24)

где N – общее число измерений, произведенных в n-точках,

m-число неизвестных параметров,

y_i -среднее значение измеренных значений y в точке .

2. Если область действия широка, то предположение о равноточности измерений недопустимо. Иногда дисперсию измеряемой величины как функцию от удается представить в виде:

где σ² –неизвестная (но постоянная) величина,

- заданная функция, учитывающая неравноточность измерений.

В этом случае:

, где

(1.25)

А несмещенной оценкой для σ² будет:

(1.26)

3. Если функция неизвестна, т. е. ничего неизвестно о поведении дисперсии, то построить несмещенную оценку, аналогичную (1.24), (1.26) не удается. В этом случае рекомендуется определять оценку дисперсии в точке по формуле:

где y_i – среднее значение измеренной величины у в точке .

При достаточно большой r_i будут близки к НЛН-оценкам.

8. Проверка гипотез.

При получении коэффициентов регрессионной модели мы задавались структурой регрессионной модели, а коэффициенты регрессионной модели определяли на базе экспериментальных данных, которые являются случайными величинами.

Естественно, возникает вопрос о достоверности полученных данных. Рассмотрим некоторые задачи проверки гипотез о структуре поверхности отклика.

1. Проверка гипотезы о значении (значимости) параметров регрессии.

Вид поверхности отклика предполагается известным; рассматривается линейная, относительно параметров , регрессия.

(1.27)

здесь - известные базовые функции,

-неизвестные параметры.

Пусть по результатам N-измерений выходной величины у₁, у₂,…у_N получены МНК-оценки параметров . Требуется для фиксированного значения i проверить достоверность гипотезы Н₀: θ_i=a против альтернативной гипотезы Н₁: θ_i≠а. Здесь а – заданное число.

Если а=0, то гипотеза Н₀ называется гипотезой значимости параметра . Такая гипотеза возникает, например, если оказалась малой величиной, точнее член в области действия факторного пространства оказался существенно меньше остальных членов оценки поверхности отклика, и естественно предположить, что соответствующий член в поверхности отклика будет излишним.

Если гипотеза Н₀ справедлива, то

Далее рассмотрим два возможных варианта:

а) дисперсия σ² каждой из выходных величин y_i заранее известна. В этом случае для проверки гипотезы Н₀ используется статистика:

(1.28)

(1.29)

Для реализации проверки гипотезы Н₀ задается некоторое достаточно малое число α (0<α<1), например α=0.05 или α=0.01, определяющие уровень доверия приведенной процедуре проверки гипотезы. Затем с помощью таблиц стандартного нормального распределения по величине определяется квантиль стандартного нормального распределения, т. е. величина такая, что (вероятность того, что случайная величина z~N(0,1) удовлетворяет неравенству ,равна α/2).Очевидно, что z_α определяется соотношением:

Это следует из симметричности кривой плотности вероятности для нормального распределения.

Если вычисленная по формуле (1.28) величина превышает z_α, то гипотеза Н₀: отвергается. Если же , то результат эксперимента не дает оснований для отклонения гипотезы Н₀. Действительно, если гипотеза Н₀ верна, т. е. , то вероятность того, что при проведении эксперимента модуль статистики u превысит уровень z_α не превышает малой величины α, т. е. это событие практически невероятно. Вероятность того, что гипотеза Н₀ будет отклонена, если она верна, равна α.

Следовательно, если при проведении эксперимента: , то это практически означает, что гипотеза Н₀ неверна.

б) дисперсия измеренных значений у_i неизвестна.

В этом случае для проверки той же самой гипотезы Н₀: используется статистика

(1.30)

здесь S²- несмещенная оценка неизвестной дисперсии , определяемая соотношением:

(1.31)

Величина R₀² называется остаточной суммой квадратов.

Случайная величина t удовлетворяет распределению Стьюдента с степенями свободы.

Для проверки гипотезы H_0: надо использовать модуль квантиля распределения Стьюдента с степенями свободы.

Если для статистики выполнено условие , то гипотеза отвергается; в противном случае и у нас нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу H₀: .