26

Часть I Регрессионный анализ

1. Планирование экспериментов по выявлению механизмов явлений.

При исследовании автоматической системы необходимо иметь их математические модели.

Применение традиционного метода построения мат. моделей, состоящего в получении уравнений системы на основе рассмотрения физико-химических закономерностей исследуемых процессов, часто оказывается не достаточно эффективным в связи со сложностью и многообразием процессов, протекающих в современных системах управления, недостаточной изученностью явлений, большим количеством элементов и т.д.

Поэтому теоретически построенное математическое описание в значительной мере утрачивает силу при переходе к реальным условиям функционирования. В последние годы все более широкое признание и интенсивное развитие получает иной подход к задаче построения мат. моделей- идентификация управляемых систем. Сущность этого подхода заключается в решении следующей обратной задачи- построение модели на основе обработки экспериментальных данных, собранных непосредственно в процессе функционирования исследуемой системы.

В настоящее время существует много разнообразных методов идентификации. Пригодность того или иного метода идентификации определяются такими особенностями как линейность и нелинейность характеристик, степень выраженности динамических свойств, уровень случайных помех и т. д.

Полученные в процессе идентификации управляемых систем их математические модели могут быть разнообразны. Это могут быть:

• стационарные модели, когда выходные и входные величины не зависят от времени;

• динамические модели, когда выходная величина изменяется во времени при изменении входной величины;

• линейные;

• нелинейные;

• параметрические, когда выходная величина является функцией какого-либо параметра системы;

• непараметрические (например, интегральные).

Задача идентификации включает в себя следующие этапы:

Основные этапы идентификации систем:

1. определение структуры модели, т.е. определение того, от каких параметров и как зависят выходные величины;

2. планирование и проведение эксперимента для получения экспериментальной информации об исследуемой системе или явлении;

3. определение неизвестных параметров модели по экспериментальным данным;

4. проверка адекватности модели исследуемой системы.

2. Постановка задачи регрессионного анализа.

С помощью регрессионного анализа будем решать задачу идентификации, т.е. задачу получения математической модели изучаемого явления по экспериментальным данным.

Предположим, что при проведении эксперимента измеряется некоторая скалярная или векторная величина, которая является выходной величиной, характеризующая объект или явление. Входные величины, от которых зависит выходная величина у, называются факторы или контролируемые переменные. Обычно измеряемая величина зависит от одного или нескольких факторов.

Выбор факторов, от которых зависит выходная величина, и определение вида функциональных зависимостей между выходной величиной и факторами, т.е. выбор структуры модели, представляет собой очень сложную задачу. В настоящее время не существует достаточно общих методов обоснования того или иного типа модели до эксперимента. Обычно этот этап процесса идентификации осуществляется эвристически с учетом как имеющейся информации о системе, так и того, какие цели преследует идентификация, где будет использоваться полученная модель.

Значение каждого из факторов, от которых зависит выходная величина, может быть выбрано из некоторого интервала значений.

Обозначим - вектор-столбец, координаты которого х₁…х_к есть контролируемые переменные.

Факторы могут изменяться в некоторых пределах. Область действия факторов называется факторным пространством, размерности к. Х- область действия факторного пространства, в которой могут лежать допустимые с точки зрения возможности или желательности проведения эксперимента значения контролируемых переменных.

Задача регрессионного эксперимента состоит в установлении связи между измеряемой величиной или какой-нибудь функцией от нее и контролируемыми параметрами.

Поскольку процесс измерения выходной величины носит случайный характер, то и сами измеряемые значения выходной величины рассматриваются как С.В. и вычисляется ее среднее значение.

При построении регрессионной модели нас интересует среднее значение величины по отношению к контролируемым переменным.

(1)

- математическое ожидание (среднее значение) случайной величины у при заданном значении точки из области действия. - функция, зависящая от факторов и неизвестных коэффициентов . Определение этих неизвестных коэффициентов – одна из задач регрессионного анализа. Функция называется поверхностью отклика и она описывает механизм изучаемого явления.

Условие (1) эквивалентно предположению, что функция правильно и точно (с точностью до ошибок измерения) описывает исследуемое явления, но так как это предположение, то после получения коэффициентов модели проверяют адекватность. этой модели.

Так как мы рассматриваем статистическую модель и определяем среднее значение выходной величины, то в точках измеренные значения выходной величины удовлетворяют следующему равенству:

где - случайные величины, для каждой из которых

В описанной ситуации:

При проведении эксперимента мы не можем получить у_ист, т. к. имеем дело с результатом измерения у_i. В данной постановке задачи предполагается, что контролируемые переменные (факторы), мы знаем точно (хотя в действительности это не так и в дальнейшем мы научимся решать задачу регрессионного анализа при ошибках измерения ). Измерения в точках предполагаются независимыми, т. е. процесс измерения выходной величины у в точке никак не отражаются на процедуре измерения у в точке .