3 Математические модели объектов диагноза

Объекты диагноза подразделяют на два класса. Непрерывные (аналоговые) объекты имеют такие входные, внутренние и выходные сигналы, которые могут принимать значения из некоторых непрерывных множеств значений, а время, в котором дается описание объекта, отсчитывается непрерывно. Дискретные объекты имеют такие сигналы, значения которых задаются на конечных множествах, а время отсчитывается дискретно. Возможны также гибридные ОД, в которых часть сигналов являются непрерывными, а часть – дискретными.

Кроме того, объекты диагноза делят на комбинационные и последовательные. Комбинационные, или объекты без памяти, характеризуются взаимно однозначным соответствием между входными и выходными сигналами. Последовательные, или объекты с памятью, имеют выходные сигналы, значения которых зависят не только от значений входных сигналов, но и от времени.

В данных методических указаниях рассматриваются дискретные комбинационные ОД.

Для построения тестов и алгоритмов диагноза необходимо иметь формальное описание объекта диагноза и его поведения в исправном и неисправном состояниях. Такое формальное описание называют математической моделью объекта диагноза.

Наиболее общий характер имеет модель ОД, названная таблицей функций неисправностей (ТФН) (табл. 1).

Таблица 1

Проверка	Результат проверки для системы, находящейся в состоянии
			…		…
			…		…
			…		…
.	.	.		.		.
.	.	.	…	.	…	.
.	.	.		.		.
			…		…
.	.	.		.		.
.	.	.	…	.	…	.
.	.	.		.		.
			…		…

Эта таблица может быть построена для объекта любой физической природы. В строках таблицы указываются все возможные проверки , которые могут быть использованы в процедуре диагностирования, а следовательно, включены в тест. Столбцы таблицы соответствуют исправному ( ) и всем возможным неисправным состояниям , , …, . Каждое неисправное состояние соответствует одной неисправности (одиночной или кратной) из заданного класса неисправностей, относительно которого строится тест. Физический смысл состояний и проверок определяется конкретными особенностями объекта диагноза. На пересечении i-го столбца и j-й строки проставляется результат j-й проверки для системы, находящейся в i-м состоянии. Если значение проверки в объекте с j-й неисправностью совпадает с ее значением в исправном объекте, то в таблице записывается значение = 1; в противном случае записывается значение = 0. Таким образом, информация в ТФН записывается в двоичном виде.

В табл. 2 приведен конкретный пример ТФН. Столбец всегда заполняется одними единицами. Если два столбца заполнены одинаково, то они соответствуют эквивалентным неисправностям и могут быть объединены. В табл. 2 таковыми являются столбцы и . Если во всех элементах столбца проставлены единицы (например столбец ), то он соответствует неисправности, которая не может быть обнаружена принятым методом диагностирования. Такой столбец исключается из ТФН. На основании указанных свойств строится преобразованная ТФН (табл. 3), из которой также исключается столбец .

Таблица 2

	1	0	1	0	0	1	1	0	1
	1	0	0	0	0	1	1	1	1
	1	1	1	0	0	1	0	0	1
	1	1	1	0	0	0	0	1	1
	1	0	1	0	0	0	1	1	1

Таблица 3

			,
	0	1	0	1	1	0
	0	0	0	1	1	1
	1	1	0	1	0	0
	1	1	0	0	0	1
	0	1	0	0	1	1

ТФН содержит всю необходимую информацию для получения тестов, которые находятся с помощью специальной математической обработки таблицы.

Рассмотрим процесс получения проверяющего теста . По преобразованной ТФН (табл. 3) составляется таблица покрытий (табл. 4), для чего в клетках таблицы, в которых проставлен ноль, записывается знак покрытия “х”, а клетки, в которых проставлена единица, оставляют незаполненными. Решается задача получения минимального покрытия. Определяется такое минимальное множество строк таблицы , что каждый столбец имеет знак покрытия хотя бы в одной строке этого множества. Тогда это множество составляет проверяющий тест.

Осуществляется сокращение таблицы покрытия. Для этого для каждого столбца находится множество , включающее в себя те строки, на пересечении с которыми в столбце проставлен знак покрытия.

Для табл. 4 имеем: = , = , = = , = , = , = = . Если (знак “ ” означает, что элементы множества полностью входят в множество ), то столбец исключается из таблицы покрытий. Если , то исключается один (любой) из столбцов . В табл. 4 исключаются столбцы (так как ) и (так как ). В результате образуется сокращенная таблица покрытий (табл. 5).

Таблица 4

			,
	х		х			х
	х	х	х
			х		х	х
			х	х	х
	х		х	х

Таблица 5

				х
	х
			х	х
		х	х
		х

По сокращенной таблице покрытий составляется следующее логическое выражение

, (1)

где S – множество столбцов таблицы;

– проверки, входящие в множество .

Выражение преобразуется по законам алгебры логики, при этом осуществляется раскрытие всех скобок и удаление избыточных элементов.

По табл. 5 получаем:

.

Так как (закон повторения),

(закон поглощения),

(закон поглощения),

то

= . (2)

Полученное выражение представляет собой дизъюнкцию конъюнкций. Каждая конъюнкция соответствует одному из возможных проверяющих тестов. Тест образуется как множество проверок, входящих в конъюнкцию. Из выражения (2) следует, что в рассматриваемом примере существуют три теста одинаковой длины:

, , .

Рассмотрим процедуру построения поверяющего теста для комбинационной схемы на логических элементах. Пусть схема реализует функцию F(a, b, c), заданную в табл. 6, и пусть в схеме имеется 11 неисправностей. Для каждой неисправности в табл. 6 указана функция f_i, реализуемая схемой с неисправностью i. Для каждой неисправности вычисляется проверяющая функция φ_i по формуле

φ_i= F f_i.

Функция φ_i задает все двоичные наборы, на которых обнаруживается i-я неисправность. На этих наборах функция F, реализуемая исправной схемой, отличается от функции f_i, реализуемой неисправной схемой.

По табл. 6 получаем проверяющие функции, записанные в виде дизъюнкций номеров двоичных входных наборов:

;	;	;	;
;	;	;	.
;	;	;

Проверяющий тест

= (3)

Выражение (3) означает, что в проверяющий тест входят входные наборы с номерами 0, 2, 3, 4, 5, 7.

Таблица 6

Номер	Входной набор				Функция неисправности
0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	0
3	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0
4	1	0	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1
5	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
6	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
7	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	0