Приложение 11 Понятие о динамическом гасителе колебаний

В динамическом гасителе для гашения колебаний используется явление антирезонанса.

Рассмотрим простейшую систему с одной степенью свободы, совершающую вынужденные гармонические колебания с частотой . Если дополнительно присоединить к системе гаситель, состоящий из диска с моментом инерции и вала жесткостью (рис. 112), причем, настроить гаситель так, чтобы его собственная частота при закрепленном диске равнялась :

,

Тогда частота станет для получившейся двухмассовой системы антирезонансной и движение основного диска прекратится.

Рис. 112. Двухмассовая система

Амплитуда А_д колебаний диска гасителя может быть найдена из условия, что крутящий момент на валу гасителя уравновешивает возмущающий момент :

Проследим поведение системы с динамическим гасителем при изменении частоты возбуждения . Если гаситель отклонить, то амплитуда колебаний основной системы будет определяться по формуле:

где .

Уравнения движения системы при включенном гасителе:

. (160)

Углы поворотов основного диска и гасителя и зададим в форме:

Подставляя углы поворотов основного диска и гасителя и и их вторые производные в (160) и решая полученную систему уравнений, получим:

(161)

При нулевой амплитуде основного диска, т.е. при отсутствии колебаний:

или

Таким образом, благодаря установке гасителя устраняются колебания основной системы при частоте , но сохраняются резонансные колебания при и , т.е. динамический гаситель колебаний эффективен только при постоянной частоте возбуждения.

Устранить резонансные колебания при частотах и оказывается возможным, если ввести в конструкцию динамического гасителя трение.

В двигателях внутреннего сгорания используются также динамические гасители, частота настройки которых меняется автоматически с изменением частоты возбуждения. Принцип работы этих гасителей основан на том, что собственная частота маятника в поле центробежных сил пропорциональна скорости вращения. Поэтому, подвесив маятник к диску, закрепленному на коленчатом валу двигателя и выбрав соответствующим образом радиус качения, можно добиться того, чтобы собственная частота колебаний маятника была в раз больше, чем угловая скорость диска. Такой виброгаситель устраняет крутильные колебания, вызываемые второй, третьей, ..., -ной гармониками возмущающих моментов.

Приложение 12 Колебания лопаток турбомашин

Колебания лопаток турбомашин возникают вследствие неравномерного по окружности потока рабочей среды, а также в связи с возмущениями, вносимыми в поток лопатками направляющего аппарата. Задачей проектировщика является расчет собственной частоты колебаний лопатки и выбор такой ее конструкции, которая позволяет исключить возможность резонанса.

Лопатка газовой турбины или компрессора представляет собой стержень переменного сечения, заделанный одним концом. Ось лопатки обычно является слабо изогнутой пространственной кривой, но при расчете частоты колебаний можно с достаточной точностью считать, что ось лопатки прямолинейна и перпендикулярна оси вращения ротора.

Трудности расчета частоты собственных колебаний лопаток связаны с необходимостью учитывать влияние центробежных сил и с тем, что лопатка представляет собой естественно закрученный стержень, главные оси различных поперечных сечений которого не параллельны друг другу.

Закрученная лопатка в процессе колебаний испытывает косой изгиб. Установим соотношение между изгибающими моментами и кривизнами для этого случая. Поперечное сечение лопатки, расположенное на расстоянии от оси вращения, отнесем к осям направленным соответственно параллельно оси вращения и по касательной к окружности (рис. 113, а).

Рис. 113. Схема действия сил и моментов

Главные оси сечения и составляют некоторый угол с осями и . Площадь сечения, его моменты инерции и угол являются функциями радиуса или расстояния данного сечения от корневого сечения лопатки. Положительные направления изгибающих моментов, приложенных к внутренней части лопатки, свяжем с направлениями правилом правого винта.

Изгибающие моменты относительно осей связаны соотношениями:

, (162)

где знак « » означает текущее значение переменной, а его отсутствие - соответствующее амплитудное значение.

Кривизны, отнесенные к главным осям сечения , выражаются через изгибающие моменты относительно этих осей формулами:

(163)

а кривизны, отнесенные к осям и -

(164)

После подстановки (162) в (163), а затем – в (164), получим:

(165)

В этих равенствах кривизны можно заменить их приближенными выражениями:

(166)

где – смещения центра тяжести лопатки в осевом и окружном направлениях.

На основе принципа Даламбера для составления уравнений движения рассмотрим динамическое равновесие элемента лопатки в плоскости, перпендикулярной оси вращения. На концах элемента возникают внутренние силы - продольная , поперечная и изгибающий момент (рис.113,б). Кроме того, к элементу приложена центробежная сила, имеющая вертикальную и горизонтальную проекции (рис.113,в), а также сила инерции в относительном движении, равная .

Проектируя силы на вертикаль, получим:

(167)

Сумма проекций на горизонталь дает уравнение:

(168)

И третье уравнение, сумма моментов, дает:

(169)

Уравнение (169) позволяет вычислить продольную силу в сечении:

(170)

которую, следовательно, можно считать заданной. В формуле (170) – длина лопатки.

Уравнения движения элемента в плоскости (рис.114,а) имеют вид:

Выражения для смещений и силовых факторов, соответствующие свободным колебаниям лопатки, представим в форме:

Тогда получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений динамического равновесия:

(171)

и уравнений упругости:

где

Рис. 114. Схема действующих сил и моментов

Полученные уравнения можно записать в матричной форме:

(172)

где – матрица-столбец из восьми элементов:

– матрица переменных коэффициентов размером , ненулевые элементы которой:

Для определения частот собственных колебаний из уравнения (172) может быть использован метод начальных параметров. С этой целью конструируются четыре линейно независимых решения уравнения (172), удовлетворяющие граничным условиям в сечении . Например, для заделанного сечения такие решения при могут иметь значения:

Численно интегрируя уравнение (172) при этих начальных условиях и при фиксированном значении частоты , находят значения при .

Общее решение в сечении представляет собой линейную комбинацию частных решений:

Граничные условия при ( ) приводят к системе однородных уравнений относительно . Если при расчете принято истинное значение собственной частоты , то определитель этой системы равен нулю. Это условие позволяет, повторяя расчет при различных значениях , определить собственные частоты колебаний. Для применяемых в практике профилей лопаток момент инерции поперечных сечений относительно одной из главных осей существенно больше, чем момент инерции относительно другой оси . В этом наиболее важном с практической точки зрения случае расчет можно существенно упростить, пренебрегая изгибом относительно оси . При этом существенными становятся только изгибающий момент и соответствующая кривизна .

Для решения упрощенных уравнений эффективным является метод последовательных приближений.

Можно также использовать метод Рэлея в варианте Граммеля. Зададимся изменением кривизны по длине лопатки, тогда интегрированием уравнений

можно найти соответствующие смещения:

(173)

Потенциальная энергия деформации определяется по формуле:

(174)

Обобщенная масса:

(175)

Для учета центробежных сил нужно дополнительно вычислить их потенциал. Предположим, что в процессе колебаний точки оси лопатки движутся по нормали к недеформированной оси. Тогда дополнительная деформация удлинения лопатки в связи с изгибом составляет:

Работа начального усилия растяжения лопатки на этой деформации равна

.

При перемещении в плоскости вращения точки лопатки удаляются от оси вращения на расстояние (рис. 114,б), что приводит к уменьшению потенциала массы лопатки в поле центробежных сил на величину

.

Таким образом, общее увеличение энергии составляет:

.

Так как продольная сила в лопатке пропорциональна , то окончательно получим:

где – усилие в лопатке при .

После определения и частота собственных колебаний лопатки вычисляется по формуле Рэлея: