Решение

Коэффициент теплопроводности воздуха определяется формулой

= . (2.1.)

Величины = и = от давления не зависят.

Плотность воздуха, как следует из уравнения Менделеева-Клапейрона:

= =

прямо пропорциональна давлению и при откачке будет уменьшаться. Средняя длина свободного пробега молекул

= = =

обратно пропорциональна давлению и при откачке будет увеличиваться. Произведение , а следовательно, и коэффициент теплопроводности некоторое время, несмотря на откачку воздуха, будут оставаться постоянными.

Однако, начиная с некоторого значения давления p', при котором средняя длина свободного пробега молекул, обусловленная их соударением друг с другом, станет равной расстоянию между стенками термоса

(2.2)

коэффициент теплопроводности начнет уменьшаться. Начиная с этого момента, молекулы будут летать между стенками термоса, практически не испытывая столкновений друг с другом. Величина при этом будет определяться формулой,

аналогичной (2.1.), но с заменой на :

= .

и, за счет уменьшения плотности газа при дальнейшей откачке, будет уменьшаться.

Находим давление р' из соотношения (2.2.):

Подставляя числовые данные, получаем

= 1,25 мм.рт.ст.

Пример 6 .

Кислород массой т =1 кг занимает объем V₁ = 1м³ и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа . Найти изменение внутренней энергии газа , совершенную им работу А и теплоту Q, пере

р, МПа данную газу. Построить график процесса.

Р₃

Дано: т = 2 кг; V₁ = 1m³; p₁ = р₂ = 0,2 10⁶ Па;

V₂= V₃= 3 м³; Рз=0,5 10^б Па.

Найти: A; Q.

Решение.

р₁

Р₁

График процесса изображен на рис.2.1. Изменение внутренней энергии газа

R(T₁ – Т₂ ),

где i = 5 - число степеней свободы молекулы

кислорода (двухатомная молекула имеет 5 степеней

Рис.2.1 свободы), T₁ и T₃ - температуры газа в начальном (первом) и конечном(третьем) состояниях. Применяя к первому и третьему состояниям уравнения Менделеева-Клапейрона

рр

p

p₁

p

p₁

p

p₁

р₁ = R ; p₂ = R

получаем: = (p₃V₃ – р₂V₂),

Полная работа, совершенная газом, равна работе при изобарном процессе:

А = p₁(V₂ – V₁) ;

так как работа при изохорном процессе равна нулю.

В соответствии первому закону термодинамики теплота Q, полученная газом, равна

Q = + A.

Выполняем вычисления:

= (0,5 10⁶ 3- 0,2 10⁶ = 3,25 10⁶Дж = 3,25МДж;

А = 0,2 10⁶(3-1) = 0,4 10⁶ Дж = 0,4МДж;

Q = 3,25 + 0,4 = 3,65 МДж.

Пример7

В цилиндре под поршнем находится водород массой т = 0,02 кг при температуре T₁ = 300К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в п₁ = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в п₂ =5 раз. Найти температуру Т₂ в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Построить график процесса.

Дано: т = 0,02 кг; Т₁ =300 К; п₁ = п₂ = .

Найти: Т₂; А₁₂; А₂₃.

р Решение

График процесса изображен на рис. 2.2

1 Температура и объем газа первого и

второго состояний связаны между собой

адиабата уравнением Пуассона

3 Т₂ = Т_l

Температура в конце адиабатного расширения определяется формулой

изотерма 2 = .

0 V

Рис. 2.2 Коэффициент Пуассона для водорода

как двухатомного газа (i = 5) равен

= = 1,4

Работа водорода при адиабатном расширении может быть найдена по формуле

А_1,2 = R(T₁ – Т₂ ),

Работа газа при изотермическом сжатии отрицательна и равна

А₂,₃= R ln =

Производим вычисления, с учетом того, что молярная масса водорода

= 2 10^-3 кг/моль.

= =157К А_1,2 = (300 – 157 ) =29,8 Дж=29,8кДж

А₂,₃ = - 21 10³ Дж = - 21 кДж.

Пример 8.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500К.Определить КПД  цикла и температуру Т₂

холодильника, если за счет каждого килоджоуля теплоты Q₁, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Дано: Т₁ = 500 К; Q₁=1000 Дж; А = 350 Дж.

Найти: ; Т₂.