Решение

Cоотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

p x > , (1)

где х - неопределенность координаты частицы;

р - неопределенность импульса частицы;

- постоянная Планка.

Поскольку электрон движется в сферической области диаметром d, неопределенность его координаты составляет

x = d/2. (2)

Очевидно, что неопределенность импульса р не может превышать значение самого импульса р, т.е. р > р. Если в соотношение неопределенностей (1) вместо р подставить p, неравенство не нарушится, а с учетом (2) соотношение неопределенностей примет вид

(d/2)p > h. (3)

Имлульс р связан с кинетической энергией T соотношением

p = , (4)

где m - масса электрона.

Подставляя (4) в (3), получаем

h . (5)

Поскольку нас интересует минимальная кинетическая энергия, в (5) знак неравенства можно заменить на знак равенства:

.

Возведя обе части последнего равенства в квадрат:

_min = ² ,.

находим выражение для Т_min:

Т_{min =} (6)

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии. Для этого в правую часть формулы (6) вместо символов величин подставим обозначение их единиц.

= =

Найденная единица является единицей энергии. Произведем вычисления, подставив значения постоянной Планка из табл. 1 и массы электрона из табл. 2:

Т_{min =} = 2,42 .

Используя значение для электрон-вольта из табл.1, найдем значение энергии во внесистемных единицах:

T_min = 2,42-10^-18/1,60 10^{-1 9} = 15,1 эВ.

Пример 4

Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы: в средней трети ящика; в крайней трети ящика?

Дано: п = 1.

Найти: w₁, w₂

Решение

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂ можно найти по формуле

w= dx, (1)

где - волновая функция, описывающая состояние частицы.

Если частица находится в потенциальном ящике в основном состоянии, ее собственная нормированная волновая функция имеет вид

(2)

где l - ширина ящика.

Подставляя (2) в (1), получаем

w= dx. (3)

Чтобы рассчитать определенный интеграл, воспользуемся тригонометрическим соотношением.

2 α = (l - cos2α).

Тогда формулу (3) можно преобразовать следующим образом:

w= dx

Вынесем за знак интегрирования постоянную величину 1/l и разобьем интеграл на два:

w= - dx

Первый интеграл в скобках вычисляется элементарно. Чтобы вычислить второй интеграл, умножим и разделим его на 2π/l:

= .

Первообразная подынтегрального выражения равна sin(2πx/l). Тогда выражение для вероятности принимает вид

w= (4)

При расчете вероятности обнаружения частицы в средней трети ящика координата х меняется в пределах от l/3 до 2l/3, а для крайней трети ящика - в пределах от 0 до l/3. Подставляя соответствующие пределы в формулу (4), произведем расчет:

w₁ = = =

= ( ) = 0,609;

w₂ = = = ( ) =

= 0,195.

Пример 5

Определить активность А радиоактивного препарата массой

m = 0,1 нкг.

Дано: μ= 0,09 кт/моль; μ= 0,1 нкг = 10^-10 кг.

Найти: А.