6.3 Примеры решения задач

Пример 1

Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергию электрона.

Дано: Z=1; п = 3;.

Найти: Т, II, Е.

Решение:

Полную энергию электрона в атоме водорода можно найти по формуле

Е_n = - , (1)

где E_i - энергия ионизации атома водорода;

п - номер энергетического уровня.

Формула для кинетической энергии электрона имеет вид

T= (2)

где m - масса электрона;

v₃ - его скорость на третьей стационарной орбите.

Скорость электрона найдем, используя формулу для момента импульса электрона (первый постулат Бора):

mv_nr_n = n, (3)

где - постоянная Планка,

r_п - радиус n-й стационарной орбиты.

В свою очередь, радиус орбиты электрона может быть найден по формуле

r_п = a_on,² (4)

где a_o -радиус Бора.

Подставляя (4) в (3), получаем

mv_na₀n² = n

откуда

v_n =

Подставляя найденное выражение для скорости в (2), получим

T = . (5)

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначение их единиц:

= =

Найденная единица является единицей энергии.

Потенциальную энергию можно найти из формулы

Е = Т+П,

откуда

П = Е - Т. (6)

Подставляя значения постоянных величин из табл. 1 и 2 в формулы (1), (5) и (6), произведем расчет:

Е₃ = -13,6/3² = -1,51(эВ).

Т = = 2,40 Дж.

Полученное значение для кинетической энергии переведем во внесистемные единицы, используя значение для электрон-вольта из табл. 1:

Т = 2,40 10^-19/1,60 10^-19 = 1,50 эВ.

Теперь можем найти потенциальную энергию в электрон-вольтах:

П = -1,51 1,50 = -3,01 эВ.

Пример 2

Длина волны де Бройля электрона равна 1 пм. Какую ускоряющую разность потенциалов прошел электрон?

Дано:  = 1 пм.

Найти: U.

Решение

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, зная кинетическую энергию Т электрона, по формуле

T=eU, (1)

где е - элементарный заряд.

Кинетическую энергию электрона можно найти, зная его импульс р, по формулам:

в нерелятивистском случае

р = ; (2)

в релятивистском случае

p = (3)

где m₀ - масса покоя электрона;

с - скорость света в вакууме;

E₀ - энергия покоя электрона.

Импульс электрона связан с длиной волны де Бройля л соотношением

 = (4)

Чтобы решить, какую из формул (2) или (3) следует применить, необходимо сравнить кинетическую энергию Т с энергией покоя электрона E₀.

Из формулы (4) для импульса электрона получаем

p = . (5)

Поскольку формула (2) легче для расчета, воспользуемся сначала ею

для определения кинетической энергии электрона, подставив в нее выражение для импульса(5):

Т = .

Произведем расчет, подставив значение постоянной Планка из табл. 1 и массы покоя электрона из табл. 2:

T = . = 2,41 ^-13Дж.

Сравнивая полученное значение с энергией покоя электрона (8,16 10^-14 Дж, cм. табл. 2), видим, что Т > E₀. Это означает, что мы имеем дело с релятивистским случаем и поэтому необходимо применять формулу (3). Преобразуем формулу (3), возведя левую и правую части в квадрат:

р² = (2Е₀ + Т)Т/с².

Умножив левую и правую части полученного уравнения на с и перенеся все слагаемые в одну сторону, получаем квадратное уравнение относительно кинетической энергии:

Т² + 2Е₀Т - р²с² = 0.

Корни полученного уравнения можно найти по формуле

T_1,2 = -E₀ ± ^ .

Поскольку кинетическая энергия положительна, нам подходит только корень со знаком "+". Поэтому

T = -E₀

Из формулы (1) для ускоряющей разности потенциалов получаем

U = T/e.

Подставляя сюда выражение для кинетической энергии (6) и используя (5), находим

U = - Е₀ =

Подставляя значения постоянных величин из табл.1 и значение энергии покоя электрона из табл. 2, произведем расчет:

U = =

=8,34 10⁵ В = 834 кВ.

Пример 3

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию T_min электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1 нм.

Дано: d = 0,l нм.

Найти: T_min.