Решение

На основании правила правого винта векторы индукции и магнитного поля, созданного каждым проводником в точке А, Рис.4.3

взаимно перпендикулярны (рис.4.3) и лежат в плоскости, перпендикулярной чертежу. Исходя из принципа суперпозиции полей, направление вектора определим векторным сложением.

.

Величина индукции магнитного поля каждого проводника равна

= =

По теореме Пифагора величина индукции суммарного магнитного поля

В=

П ример 3

Стержень ОА сопротивлением R и длиной l скользит по полукольцу, сопротивление которого ничтожно мало (рис. 4.4). Контур помещен в однородное магнитное поле индукции В, ЭДС источника равна , внутреннее сопротивление r, угловая скорость вращения стержня . Найти силу тока в стержне и разность потенциалов на его концах. Рис. 4.4

Решение

При движении стержня в магнитном поле на его концах возникает разность потенциалов, определяемая формулой

где Ф - магнитный поток, проходящий через поверхность, «заметаемую» стержнем за время t.

Так как стержень перпендикулярен вектору магнитной индукции, то

Ф = В S,

где S площадь сектора, «заметаемого» стержнем за время t.

За это время стержень поворачивается на угол

t,

a площадь «заметенного» сектора равна

S = =

С учетом полученного выражения ЭДС индукции

р авна =

На схеме (рис. 4.5) движущийся стержень заменен

источником тока с ЭДС равной и внутренним сопротивлением R

Применив правила Кирхгофа, находим силу тока, протекающего в контуре

I = = Pис.4.5

Разность потенциалов на концах стержня равна разности потенциалов между точками С и Д в схеме на рис. 5. Она определяется по закону Ома

U_СД = – IR =

Пример 4

Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукции В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол = 90°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение

Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур

А = - I Ф = I(Ф₁- Ф₂),

где Ф₁ и Ф₂ - магнитные потоки, пронизывающие контур соответственно до и после перемещения.

Очевидно, что

Ф₁ = ВS.

Tак, как Ф₂ = 0, то

A=IBS = 1Ва²= 100 1 0,1² = .1 Дж.

4.3 Задачи для самостоятельного решения

4.001. В одном из ядерных экспериментов протон с энергией 1 МэВ движется в однородном магнитном поле по круговой траектории. Какой энергией должна обладать альфа-частица, чтобы она могла двигаться по той же круговой орбите?

4.002. Электрон и протон, движущиеся с одинаковой скоростью, влетают в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз отличаются радиусы кривизны траекторий протона и электрона?

4.003. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,05 Тл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов сделает протон за одну секунду?

4.004. Протон и альфа-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Во сколько раз отличаются периоды обращения протона и альфа-частицы?

4.005. Магнитное поле напряженностью 8 кА/м и электрическое поле напряженностью 1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле со скоростью 100 км/с. Каковы нормальное, тангенциальное и полное ускорения электрона? Рассмотреть два случая: а) скорость электрона параллельна направлению электрического поля; б) скорость электрона перпендикулярна направлению электрического поля.

4.006. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30° к направлению поля и движется по винтовой линии. Индукция магнитного поля равна 13 мТл. Каковы радиус и шаг винтовой линии?

4.007. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом 30° к направлению поля и движется по винтовой траектории радиусом 1,5 см. Индукция магнитного поля равна 0,1 Тл. Какова кинетическая энергия протона?

4.008.По длинному прямому проводу течет ток 50 А. Электрон, движущийся со скоростью 10 м/с, в некоторый момент времени находился в 5 см от провода. Какая сила действовала в этот момент на электрон, если его скорость была направлена: а) к проводу, перпендикулярно ему; б) параллельно проводу; в) под прямым углом к двум предыдущим направлениям?

4.009. Четыре медных провода, диаметром 2,5 мм каждый, расположены параллельно друг другу, причем их поперечные сечения образуют квадрат со стороной

a = 20 см (рис.46) По каждому проводу течет ток 20 А в направлении, показанном на рисунке. Каковы величина и направление вектора индукции результирующего магнитного поля в центре квадрата?

Рис.4.6

4.010. Из проводника длиной L, по которому течет ток I, можно сделать окружность или квадрат. Какая из этих форм дает наибольшее значение магнитной индукции в центре фигуры?

4.011. По двум параллельным проводникам, расстояние между которыми 5 см, текут одинаковые токи силой 0,1 А. Какова индукция результирующего магнитного поля в точке, удаленной от каждого проводника на расстояние 5 см, если токи текут: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях?

4.012. Определить величину и направление вектора индукции магнитного поля в точке, расположенной на одинаковом расстоянии 5 см от двух взаимно перпендикулярных скрещенных прямых длинных проводников, по которым текут одинаковые токи силой 2 А. Рассмотреть различные направления токов в проводниках. Расстояние между проводниками 5 см.

4.013. Проволочный виток радиусом 25 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлена небольшая магнитная стрелка, способная вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка, если по витку пропустить ток силой 15 А? Горизонтальную составляющую индукции магнитного поля Земли принять равной 20 мкТл.

4.014. По проводу, согнутому в виде прямоугольника со сторонами 8 см и 12 см, течет ток силой 50 А. Определите индукцию магнитного поля в центре пересечения диагоналей прямоугольника.

4.015. Ток силой 20 А течет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Какова индукция магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от его вершины на расстоянии 10 см?

4.016. Какова индукция магнитного поля на оси кругового витка с током на расстоянии 3 см от его плоскости. Радиус витка равен 4 см, а сила тока-2 А.

4.017. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 10 см друг от друга. По виткам текут одинаковые токи силой 2 А. Какова индукция магнитного поля на оси витков в точке, расположенной на одинаковом расстоянии от них? Решите задачу, рассмотрев два случая направления токов: а) одинаковое; б) противоположное.

4.018. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры витков совпадают. Радиус каждого витка 2 см, токи в витках одинаковы и равны 5 А. Найти индукцию магнитного поля в центре витков.

4.019. В проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, ток 2 А. Магнитное поле в центре рамки имеет напряженность, равную 33 А/м. Каков периметр рамки?

4.020. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу течет ток 5 А. Каков радиус витка, если напряженность магнитного поля в центре витка равна 41 А/м?

4.021. По двум параллельным проводам длиной З м каждый текут одинаковые токи силой 500 А. Расстояние между проводниками 10 см. Какова сила взаимодействия проводников?

4.022. Виток диаметром 10 см может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и 1густили по нему ток силой 40 А. Какой вращающий момент нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении? Горизонтальную составляющую магнитного поля Земли принять равной 200 мкТл.

4.023. Из проволоки длиной 20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. По контурам течет ток 2 А. Плоскость каждого контура составляет угол 45° с направлением силовых линий магнитного поля.

4.024. Катушка гальванометра, состоящего из 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и ширимой 2 см, подвешена на нити в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. По катушке течет ток 0,1 мкА. Найти вращающий момент, действующий на катушку гальванометра, если плоскость катушки: а) параллельна силовым линиям магнитного поля; б) составляет угол 60° с направлением силовых линий магнитного поля.

4.025. Небольшая магнитная стрелка совершает в магнитном поле Земли малые колебания с периодом 1,33 с. При помещении ее внутрь соленоида, по которому течет ток, стрелка колеблется с периодом 0,16 с. Определить индукцию магнитного поля соленоида. Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 18 мкТл. Затуханием колебаний стрелки пренебречь.

4.026. Вблизи соленоида, создающего магнитное поле с индукцией 0,2 мТл, направление которого совпадает с направлением горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли, подвешена на вертикальном острие магнитная стрелка массой 6 г и длиной 10 см, магнитный момент которой равен 2 А м². Каково значение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли, если стрелка совершает колебания с периодом 0,67 с?

4.027. Магнитная стрелка компаса совершает колебания в магнитном. поле Земли. Масса стрелки 3 г, длина 6 см, магнитный момент 3,14 А м². Каков период колебаний стрелки, если горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 20 мкТл?

4.028. Медная проволока диаметром 1 мм и длиной 50 см согнута в замкнутое кольцо, плоскость которого перпендикулярна силовым линиям однородного магнитного поля. Индукция магнитного поля возрастает со скоростью 0,1 Тл/с. С какой скоростью генерируется в кольце джоулево тепло? Удельное сопротивление меди равно 1,7 10^-8Ом м.

4.029. Магнитный поток через контур, перпендикулярный потоку,

изменяется по закону Ф = 6t² +7t +1, где Ф измеряется в мВб, а t - в секундах. Какова ЭДС индукции в контуре через 2 с после момента t = 0 ?

4.030. Плоский виток провода расположен перпендикулярно однородному магнитному полю. Когда виток повернули на 180°, по нему прошел заряд 7,2 мКл. На какой угол повернули виток, если по нему прошел заряд 1,8 мКл?

4.031. Из провода длиной 2 м сделан квадрат, который расположен горизонтально. Какой заряд пройдет по провoду, если квадрат потянуть за две диагонально противоположные вершины так, чтобы он сложился? Сопротивление провода равно 0,1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мкТл.

4.032. Медный стержень длиной 20 см движется со

скоростью v = 5 м/с параллельно длинному прямому проводу с током I = 100 А (см. рис. 4.7).Определить индуцированную в стержне ЭДС, если с = 1см.

.

Рис.4.7

4 .033 Проводящий стержень АЕ. замыкает

к онтакт между рельсами АД и ЕС, отстоящими друг

от друга на 50 см (рис. 4.8). Однородное магнитное поле индукции В =1Тл направлено перпендикулярно плоскости чертежа. Полное и постоянное сопротивление цепи АЕСД равно 0,4 Ом. Каковы величина и направление тока в стержне АЕ, если он движется вле Рис.4.8 во со скоростью 8 м/с?

4.034. Прямоугольный контур со скользящей перемычкой длиной 10 см находится в однородном

магнитном поле, перпендикулярном плоскости

контура (см. рис.4.9). Индукция магнитного поля

равна В =2,0 мкTл, сопротивление перемычки равно 2 Ом. В контур включены два резистора, сопро Рис.4.9

тивление которых 10 Ом и 20 Ом. Пренебрегая самоиндукцией контура, найти ток в перемычке при ее поступательном перемещении со скоростью v =10 м/с.

Рис.4.10

4.035.Проводник длиной 1м и сопротивлением 2 Ом лежит на двух горизонтальных шинах, замкнутых на источник тока, ЭДС которого равна 1В. Вся конструкция находится в вертикальном магнитном поле с индукцией В =0,1 Тл (см. рис.4.10). Определить силу тока в проводнике, если: а) проводник покоится; б) проводник движется вправо со скоростью v = 4 м/с; в) движется влево с той же скоростью. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением шин пренебречь.

4.036. В магнитном поле индукции 0,05 Тл вращается стержень длиной 1м с угловой скоростью 20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно магнитному полю. Какова разность потенциалов на концах стержня?

4.037. В однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков. Частота вращения катушки 5 с^-1, площадь поперечного сечения катушки равна 0,01 м². Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного поля. Какова максимальная ЭДС, возникающая в катушке?

4.038. Сколько витков имеет катушка, индуктивность которой равна 1мГн, если при силе тока 1А магнитный поток сквозь катушку равен 2мкВб?

4.039. К катушке с индуктивностью 50 мкГн и активным сопротивлением 180 Ом мгновенно приложена разность потенциалов 50 В. Какова скорость возрастания тока через 0,001 с?

4.040. В электрической цепи, содержащей резистор сопротивлением 20 Ом и катушку индуктивностью 0,006 Г'н, течет ток силой 20 А. Какова будет сила тока в цепи через 0,2 мс после ее размыкания?

4.041. По замкнутой цепи, содержащей резистор сопротивлением 20 Ом и катушку, течет ток. Через 8 мс после размыкания цепи сила тока в ней уменьшилась в 20 раз. Определить индуктивность катушки.

4.042. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью 0,1 Гн и источника тока. Источник тока отключили, не разрывая цепи. Через 0,07 с сила тока уменьшилась до 0,001 первоначального значения. Каково активное сопротивление катушки?

4.043. Источник замкнули на катушку с активным сопротивлением10 Ом и индуктивностью 0,2 Гн. Через какое время сила тока в цени достигнет 90% максимального значения?

4.044. Источник тока замкнули на катушку с активным сопротивлением 20 Ом. Через 0,1с сила тока в цепи достигла 0,95 максимального значения. Какова индуктивность катушки?

4.045. Катушка имеет индуктивность 0,144Гн и активное сопротивление 10 Ом. Через какое время после подключения к источнику тока в катушке потечет ток, равный половине установившегося?

4.046. По круговому витку провода радиусом 5 см течет ток 100А. Какова плотность энергии магнитного поля в центре витка?

4.047. В модели атома водорода Бора электрон вращается вокруг ядра по окружности радиуса 5,1 10^-11 м с частотой 6,8 10¹⁵ с^-1. Чему равна плотность энергии магнитного поля в центре орбиты?

4.048. В соленоиде сечением 5 см² создан магнитный поток 20 мкВб. Определить объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.

4.049. Магнитный поток в соленоиде, содержащем 1000 витков, равен 0,2 мВб. Какова энергия магнитного поля соленоида, если сила тока, протекающего по виткам соленоида, равна 1 А? Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.

4.050. При какой силе тока в прямолинейном проводе бесконечной длины на расстоянии 5 см от него объемная плотность энергии магнитного поля будет равна 1 мДж/м³?

4.051. Обмотка соленоида содержит 20 витков на каждый сантиметр длины. При какой силе тока в соленоиде объемная плотность энергии магнитного поля будет равна 0,1 Дж/м³ ? Сердечник выполнен из немагнитного материала, магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.

4.051. Соленоид имеет длину 0,6 м и сечение 10 см². При некоторой силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток, равный 0,1 мВб. Чему равна энергия магнитного поля соленоида? Сердечник выполнен из немагнитного материала; магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.

4.052. Определить энергию магнитного поля соленоида, содержащего 500 витков, которые намотаны па картонный каркас радиусом 2 см и длиной 0,5 м, если сила тока в соленоиде равна 5 А.

4.053.Виток радиусом 20 см, по которому течет ток силой 50А, свободно установился в однородном магнитном ноле напряженностью 1000 А/м. Виток повернули относительно диаметра на угол 30°. Определить совершенную работу.

4.055. Круговой контур радиусом 2 см помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям магнитного поля, напряженность которого 150кА/м. По контуру течет ток силой 2А. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, совпадающей с его диаметром?

4.056. Квадратный контур со стороной 10 см, в котором течет ток силой 6 А, находится в магнитном поле с индукцией 0,8 Тл под углом 50° к линиям индукции. Какую работу нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?

4.057. Плоский контур с током 5 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл. Площадь контура равна 200 см². Поддерживая силу тока в контуре неизменной, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол 40°. Определить совершенную при этом работу.

4.058. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Диаметр витка равен 10 см. Какую работу нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол 60⁰?

4.059. Виток радиусом 10 см, по которому течет постоянный ток 20 А, помещен в магнитное иоле с индукцией 1 Тл так, что его нормаль образует с вектором магнитной индукции угол 60°. Определить работу, которую нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить виток из поля.

4.060. В однородном магнитном поле перпендикулярно его силовым линиям расположен плоский контур площадью 100 см². Поддерживая в контуре постоянный ток 50 А, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Какова индукция магнитного поля, если при перемещении контура была совершена работа 0,4 Дж?