1. Гармонические колебания

Колебание или колебательные процессы, такие процессы в которых значение параметров системы периодически повторяются. Важнейшей характеристикой колебаний является период(промежуток времени, через который значение параметров системы повторяются)

Частота ν – число колебаний за 1 секунду. ν=1/T. S(t) любая функция удовлетворяющая условие периодичности. S(t)=S(t+T) – будет описывать некий колебательный процесс, если S(t) меняется по закону cos и sin называется – гармонические колебания. S(t)=Asin(ωt+φ); S(t)=Acos(ωt+φ) гармонические колебания. Амплитуда колебаний максимальное значение колеблющейся величины. Циклическая частота(скорость изменения фазы) ω=2πν=2π/T. (ωt+φ) – фаза, характеризующая состояние колебательного процесса. φ – начальная фаза в начальный момент времени. Аω – максимальное значение скорости.

2. Колебательные процессы и их характеристики

S(t)=A sin(wt+ф₀). S(t)=A cos(wt+ф₀). А- амплитуда колебаний(максимальное значение колеблющийся величины). wt+ф₀ – фаза колебания, характерезует состояние колебательного процесса. ф₀ – начальная фаза. w – скорость изменения фазы. S(t)* и S(t)** - тоже гармонические колебания и меняются по закону cos и sin. S(t)* =Awcos(wt+ф₀)= Awsin(wt+ф₀+П/2). Aw-скорость изменения. S(t)**=-Aw²сos(wt+ф₀)= Aw²sin(wt+ф₀+П). Aw²-ускорение. Сдвиг по фазе: 1 производная опережает S на П/2; 2 производная опережает S на П.

3. Способы описания и изображения колебаний

1. Графицеский

S(t)=Asin(wt+ф₀) ,ф₀=0

S(t)

t

T/2 T

2)Построение векторных деограмм

у

А

wt+ф₀

х

вектор А вращается вокруг точки 0, с некой угловой скоростью w

п роэкция вектора А на ось ОУ А = А, совершает гармонические колебания

А_у=S=Asin(wt+ф₀)

А_х=S=Acos(wt+ф₀)

2. Построение фазового партрета описания колебаний в динамических элементов

S(t)=A sin(wt+ф₀),sin(wt+ф₀) =S(t)/A

S(t)* =V=Awcos(wt+ф₀),cos(wt+ф₀)=V/Aw

Возводим в квадрат и складываем, 1=S²/A² + V²/A²w²

4. Уравнение гармонических колебаний

Исходя из выражения S(t)**=-Aw²сos(wt+ф₀)= Aw²sin(wt+ф₀+П); S(t)**+w²S=0; Общее уравнение его решения: S(t)=A₁sinwt+A₂coswt; S(t)=Asin(wt+ф₀);А=√A₁²+A₂², tgф₀=А₁/А₂

А₁ и А₂ – константы интегрирования находятся в изночальных условиях т.е. при t=0 А₂=S(0), A₂=1/w(dS/dt)|t=0, т.о. видно величине S совершает в том и только в том случае если она удовлетворяет уравнение S(t)**+w²S=0

5. Механические гармонические колебания

пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат хоколо положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от аремени t задается уравнением, аналогичным уравнению где s=x

x=A cos( ₀ t+)

скорость V и ускорение a колеблейщейся точки соответственно равны

v=-A₀ sin( ₀ t+)= A₀ cos( ₀ t++/2);

a=-A₀² cos( ₀ t+)= A₀² cos( ₀ t++);

F=-m₀² x

Следовательно сила пропорциональна смещениюиматериальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону( к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

T=mV²/2= (mA²₀²)/2 sin²( ₀ t+);

T=(mA²₀²)/4[1-cos2( ₀ t+)];

Потенциальная энергия

П=(mA²₀²)/2 [1+cos2( ₀ t+)];