§ 4. Уравнение обмена в алгебраическом выражении

Теперь мы переходим к точному алгебраическому изложению уравнения обмена. Алгебраическое изложение является обычно хорошим предохранителем от расплывчатых рассуждений, главным образом ответственных за то недоверие, под которое часто подпадают экономические теории. Если в геометрии с самого начала представляется нужным тщательно доказывать положения почти самоочевидные, то во сто крат более необходимо доказывать с точностью менее самоочевидные положения, относящиеся к вопросу об уровне цен, положения, которые принимаются доверчиво одними и в то же время пренебрежительно отвергаются другими.

Обозначим общий объем денежного обращения, т. е. сумму денег, затрачиваемую на покупку товаров в данном обществе в течение данного года, через Е (Expenditure), а среднее количество денег, находящихся в обращении в данном обществе в течение года, через М (Money). M будет представлять собой простую арифметическую среднюю из сумм денег, находившихся в обращении в последовательные моменты, отделенные друг от друга равными, бесконечно малыми промежутками времени. Если мы разделим сумму годовых денежных затрат Е на среднюю сумму денег в обращении М, мы получим то, что называется средним числом оборотов денег в их обмене на блага, - Е/М, т. е. скорость обращения денег. Эта скорость может быть обозначена через V (Velocity), так что Е/М = V. Тогда Е может быть выражено через MV. Иначе говоря, общий объем денежного обращения, или сумма затраченных денег, равна средней сумме денег в обращении, умноженной на скорость их обращения или оборота. Таким образом, Е или MV выражают денежную часть уравнения обмена. Обращаясь к товарной части уравнения, мы будем иметь дело с товарными ценами и количествами обмениваемых товаров. Среднюю продажную цену всякого отдельного товара, например хлеба, покупаемого в данном обществе, можно обозначить через р (price), а все купленное количество его - через Q (Quantity); подобным же образом среднюю цену другого блага (скажем, угля) можно обозначить через р', а все обмениваемое количество - через Q'; средняя цена и все количество третьего блага (скажем, ткани) могут быть обозначены соответственно через р" и Q" и т. д. для всех других товаров, как бы многочисленны они ни были. Тогда уравнение обмена, очевидно, может быть выражено следующим образом:

MV = pQ + P'Q' +p"Q" + и т. д.

Правая сторона уравнения представляет собой сумму членов вида pQ - цена, умноженная на купленное количество. В математике принято обычно сокращать такую сумму членов, имеющих одинаковую форму, пользуясь значком Σ как символом суммирования. Этот символ вовсе не обозначает величины, как символы М, V, р, Q и т. д. Он указывает только на действие сложения и должен читаться следующим образом: “сумма членов следующего типа”. Поэтому уравнение обмена может быть изображено таким образом:

MV = ΣpQ.

Величины Е, М, V, все р и все Q относятся к целому обществу и к целому году, но они основаны на соответствующих величинах, относящихся к отдельным лицам, составляющим общество, и к отдельным моментам времени, составляющим год.

Алгебраический вывод этого уравнения, без сомнения, по существу тот же, что и данный выше вывод его арифметическим путем. Он состоит просто в сложении между собой уравнений всех индивидуальных покупок внутри общества в течение года.

Посредством этого уравнения, MV = ΣpQ, три теоремы, выставленные в этой главе ранее, могут быть теперь выражены следующим образом:

1) Если V и все Q остаются неизменными в то время, как М изменяется в некотором отношении, вся денежная часть уравнения изменится в том же самом отношении и, следовательно, равная ей товарная часть его точно так же должна измениться в том же отношении. В соответствии с этим или все р изменятся в том же отношении, или некоторые изменятся в большем, а другие в меньшем отношении, но на столько, чтобы уравновесить изменение первых и сохранить ту же самую среднюю.

2) Если М и все Q остаются неизменными в то время, как V изменяется в некотором отношении, денежная часть уравнения изменится в том же самом отношении, и, следовательно, равная ей товарная часть уравнения должна также измениться в том же отношении. В соответствии с этим или все р изменятся в том же отношении, или некоторые из них изменятся в большем, а другие в меньшем отношении, но так, чтобы компенсировать большее изменение в первых.

3) Если М и V остаются неизменными, денежная и товарная части уравнения останутся также неизменными; следовательно, если при этом все Q изменятся в данном отношении, то или все р должны измениться в обратном отношении, или некоторые из них изменятся в большем, другие в меньшем отношении, но так, чтобы компенсировать большее изменение первых.

Мы можем при желании упростить правую часть уравнения еще дальше, написав ее в форме РТ, где Р есть взвешенная средняя всех р, а Т есть сумма всех Q. Тогда Р будет представлять в одной величине уровень цен, а T - объем торгового оборота. Это упрощение есть алгебраическая интерпретация заимствованной из области механики и представленной на рис. 3 иллюстрации, где все товары, вместо того чтобы быть подвешенными отдельно, как на рис. 2, были соединены и подвешены в средней точке, символизирующей их среднюю цену.

Мы вывели уравнение обмена MV = ΣpQ, складывая вместе в правой части его суммы, затрачиваемые отдельными лицами. Но при помощи таких же рассуждений можно было вывести уравнение обмена, беря суммы не затрачиваемые, а получаемые отдельными лицами. Результаты этих двух методов будут гармонировать друг с другом, если данное общество не ведет внешней торговли, так как при исключении внешней торговли то, что истрачено одним членом общества, необходимо будет получено каким-либо другим членом его.

Если мы хотим распространить наше рассуждение так, чтобы оно было приложимо и при наличии внешней торговли, то мы должны будем иметь два уравнения обмена: одно, основанное на денежных затратах, и другое, основанное на денежных получках членов данного общества. Эти два уравнения будут всегда приблизительно равными между собой, точно же равными они могут быть или не быть в пределах данной страны в зависимости от “торгового баланса” ее с другими странами. Правая часть уравнения, основанного на затратах, будет включать в себя в дополнение к количествам товаров данной страны еще количества и цены товаров, ввезенных в эту страну; но в то время, как в этом случае правая часть уравнения не будет включать в себя товаров, вывезенных из страны, по отношению к уравнению, основанному на получках, будет справедливо как раз обратное положение.