Постановка задачи

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

8. Выполнить обработку заданных экспериментальных данных с использованием встроенных функций интерполяции (аппроксимации) и регрессии пакета MathCAD и сравнить результаты с результатами, полученными в Microsoft Excel.

Общие сведения

При экспериментальном изучении функциональной зависимости y = f(x) производят измерения величины y при различных значениях величины x. Результаты представляют в виде таблицы 1 или графически.

X	x1	x2		xn
Y	x1	Y2		yn

Таблица 1

Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, т.е. в подборе формулы, описывающей результаты эксперимента. Эмпирическую формулу обычно выбирают из достаточно узкого класса функций, рассматривая, например, множество функций линейных, степенных, показательных и т.п. При этом руководствуются какими либо теоретическими соображениями или соображениями простоты представления эмпирического материала. Найденная эмпирическая формула должна быть такой, чтобы вычисленные по ней значения функций при X=x_i возможно мало отличалось бы от опытных данных y_i (i = 1, 2, …,n).

Обозначим выбранную функциональную зависимость

,

1.1

где а₁, а₂, …, а_m – параметры функции.

Пусть все измерения значений функции y₁, y₂, …, y_n выполнены с одинаковой точностью. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а₁, а₂, …, а_m считаются те, для которых

,

(1.2)

будет минимальной. Таким образом, параметры а₁, а₂, …, а_m определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от принимала наименьшее значение.

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов а₁, а₂, …, а_m

,

(1.3)

Решив систему (1.3), получим значения искомых параметров а1, а2, …, аm.

Система (1.3) упрощается, если функция является линейной относительно параметров а1, а2, …, аm.

Линейная зависимость

Рассмотрим линейную зависимость между X и Y. Это значит, что для переменных X и Y соответствующие значения x_i и y_i (i =1, 2, …, n) таковы, что точки М(x, y) располагаются на прямой линии. В этом случае эмпирическая функция имеет вид

,

(1.1.1)

где а1, а2 –неизвестные параметры, а система (1.3) примет вид

(1.1.2)

Эта линейная зависимость может быть решена известным методом, например, методом Гаусса или по формулам Крамера.