8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.Е.

Доказательство.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем Следовательно:

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подинтегральной функции. Действительно, если обозначить , то (x) = f(x), то очевидна справедливость формулы , которая выражает связь между определенным и неопределенным интегралами.

§5. Вычисление определённого интеграла.

5.1. Формула Ньютона – Лейбница.

.

Например,

5.2. Интегрирование подстановкой. Замена переменной.

Теорема. Если:

1) и её первообразная непрерывны на отрезке .

2)множество значений функции при является множество, заполняющее отрезок от [а;в].

3) и при этом ,

то (*) - формула замены переменной.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на отрезке [а;в].

Тога по формуле Ньютона- Лейбница (1).

Покажем, что (1) равна (*).

Тогда является первообразной для функции (1) на отрезке .

Тогда по формуле Ньютона – Лейбница

Отметим некоторые особенности этой формулы:

1) при вычислении определённого интеграла по формуле (1) возвращаться к старой переменной не надо.

2) часто вместо подстановки применяют подстановку .

3) обязательно надо менять пределы интегрирования при замене переменной.

Примеры:

1)

5.3. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема: Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [а;в], то имеет место

(2).

Доказательство: для всех : любые (uv)’=u’v+uv’=>uv являются первообразной для u’v+uv’;тогда при любых справедливо равенство:

Примеры:

§6. Геометрическое применение определённого интеграла.

6.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна определенному интегралу:

(1)

S-?: y= ; y=0; x=0;x=1.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0) ,то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, взятому с противоположным знаком («-»).

(2)

Пример: у= ; у=0; х=-1; х=-2.

х=-2 х=-1 у

S=

х

Формулы 1 и 2 можно объединить: S= (3)

Площадь фигуры ограниченной кривыми и , прямыми х=а и х=в при условии, что для всех , находятся по формуле (4)

у

а в х

Пример: Найти S трапеции, ограниченной ; .

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу её можно разбить на части, так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

;

П ример: Вычислить S фигуры, ограниченной осью Ох, и у=sin x; y=cos x.

sin x=cos x*cos x

tg x=1

x= ; n

Аналогично если криволинейная трапеция ограничена прямыми у=с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х=φ(у) 0

Пример: Найти S фигуры, ограниченной кривой ; у=8 и осью Оу.

6.2. Вычисление объёма тела вращения.

1)Пусть криволинейная трапеция аАВв, ограниченная графиком неопределённой функции y=f(x) 0, прямыми х=а; х=в и отрезком оси абсцисс, вращающейся вокруг оси Ох.

Эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения. Найдем его объём(V).

Разделим отрезок на части точками . Через точки деления проведём плоскости, перпендикулярные оси Ох, в результате получаются поперечные сечения, которые представляют собой окружности радиуса . В результате такого деления всё тело разделяется на

i-го тела с высотой

Тогда, объём всего тела .

2) Внутри каждого частичного отрезка возьмём точку и проведём через неё поперечное сечение. Заменим каждый i-тый слой с объёмом с высотой и основанием, полученным в результате сечения через точку ( ).

3) Составим сумму объёмов элементарных цилиндров (1)

Сумма (1) есть интегральная сумма на отрезке . Эта сумма ≈ объёму тела V.

4) Выберем шаг деления - наибольшее из d , при .

5) За объём тела вращения примем lim интегральной суммы (1) при , т.е. (2)=

Если предел (2) существует и конечен, а f(x)- непрерывная функция, то предел (2) существует и равен определённому интегралу функции на .

=

(3)

Замечание: Если криволинейная трапеция cCDd ограничена графиком напрерывной функции ; прямыми у=с, у=d и отрезком оси ординат, вращающимся вокруг оси Оу, этот объём тела вращения равен (4)

Примеры:

1)Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ; у=0, х=2

у

2) Найти объём тело, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной ; х=0; у=4.

.