Геометрический смысл полного дифференциала.

Для функции одной переменной y = f(x) в точке x₀ геометрический смысл дифференциала означает приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ при переходе к точке x₀ + Dx. А дифференциал функции двух переменных в этом плане является приращением аппликаты касательной плоскости, проведенной к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M₀(x₀, y₀) при переходе к точке M(x₀ + Dx, y₀ + Dy). Дадим определение касательной плоскости к некоторой поверхности:

Определение. Плоскость, проходящая через точку Р₀ поверхности S, называется касательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через две точки Р₀ и Р (любая точка поверхности S), стремится к нулю, когда точка Р стремится по этой поверхности к точке Р₀.

Пусть поверхность S задана уравнением z = f(x,y). Тогда можно показать, что эта поверхность имеет в точке P₀(x₀, y₀, z₀) касательную плоскость тогда и только тогда, если функция z = f(x,y) дифференцируема в этой точке. В этом случае касательная плоскость задается уравнением:

z – z₀ = + (6).

Следовательно, приращение Dz аппликаты касательной плоскости определяется формулой:

Dz = + , что совпадает с формулой полного дифференциала функции двух переменных.

§5. Производная по направлению, градиент функции.

Частные производные функции y=f(x₁,x₂..x_n) по переменным x₁, x₂ . . . x_n выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например, есть скорость изменения функции по х₁ – то есть предполагается , что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно оси ОХ_1, а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.

Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z).

Зафиксируем точку М₀(x₀,y₀,z₀) и какую-нибудь направленную прямую (ось) l, проходящую через эту точку. Пусть М(x,y,z) - произвольная точка этой прямой и êМ₀М ê- расстояние от М₀ до М.

Du = f (x,y,z) – f(x₀,y₀,z₀) – приращение функции в точке М₀.

Найдем отношение приращения функции к длине вектора :

Определение. Производной функции u = f (x,y,z) по направлению l в точке М₀ называется предел отношения приращения функции к длине вектора êМ₀М ê при стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближении М к М₀):

(1)

Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М₀ в направлении l.

Пусть ось l (вектор М₀М) образует с осями OX, OY, OZ углы соответственно.

Обозначим x - x₀ = ;

y - y₀ = ;

z - z₀ = .

Тогда вектор М₀М = (x - x₀, y - y₀, z - z₀)= и его направляющие косинусы:

;

;

.

Отсюда получаем следующие выражения для Dx, Dy, Dz:

(2)

Полное приращение функции в точке М₀ :

можно представить в виде:

(3), где

Подставим выражения (2) в (3):

Найдем отношение :

Перейдем к пределу при êМ₀М ê ® 0:

(4).

(4) – формула для вычисления производной по направлению.

Конечно, направление может быть задано просто соответствующим вектором. Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z) в точке М₀:

grad u - градиент функции u=f(x, y, z) в точке М(x, y, z)

Рассмотрим единичный вектор по направлению l - - это вектор, длина которого равна 1,а направление совпадает с направлением оси l.

Тогда производная функции u=f(x, y, z) по направлению l может быть представлена как скалярное произведение( ):

.

Следовательно, производная функции u=f(x, y, z) по данному направлению l есть скалярное произведение градиента функции на единичный вектор этого направления.