105

Высшая математика (краткий курс лекций) введение в математический анализ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

§1. Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.

§2. Числовые множества. Множество действительных чисел.

§3. Числовые промежутки.

§4. Модуль действительного числа.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§1. Понятие функции и способы ее задания.

§2. Основные характеристики функций.

§3. Элементарные функции.

§4. Приложение функций в экономике.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

§1. Числовая последовательность и ее предел.

Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. Начальные сведения о пределах встречаются еще в школьном курсе. Например, в алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечной убывающей прогрессии, в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности, площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел вращения.

В курсе математического анализа с помощью предела вводятся понятия производной, определенного интеграла.

Ознакомимся с понятием числовой последовательности и ее предела.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n} (1.1)

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Примеры.

1 ⁰) {x_n} = {3n} или {x_n} = 3; 6; 9; 12; …

2 ⁰) {x_n} = { } или {x_n} = 1; ; ; ; …

3 ⁰) {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

4 ⁰) {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; -1; 0; …

5⁰) {x_n} = {6} или {x_n} = 6; 6; 6; 6; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1. Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2. Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3. Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4. Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Замечание. Если переменная x_n принимает значения x_1, х₂, …, х_n,…, то говорят, что эта переменная «пробегает» числовую последовательность {x_n}. Такую переменную называют «упорядоченной». Часто упорядоченную переменную отождествляют с числовой последовательностью, которую она «пробегает» и обозначают x_n. Переменная x_n не является непрерывной, она – дискретная.

Заметим, что n (номер) можно увеличивать неограниченно, пишут n→∞ и последовательность (1.1) является бесконечной числовой последовательностью.

Вернемся к рассмотренному примеру 1⁰): {x_n} = {3n} или {x_n} = 3; 6; 9; 12; … На данном примере можно заметить, что при n→∞ переменная величина x_n тоже неограниченно возрастает. Такие величины называют бесконечно большими.

Определение. Переменная величина x_n называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) М>0 можно найти такой номер n=N, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству:

|x_n| ³ M

Рассматривая пример 2⁰), можно заметить, что величина x_n = → 0 при n → ∞. Такие величины называются бесконечно малыми.

Рассмотрим еще один пример: {x_n} = { } или {x_n} = 0; ; ; …

По мере возрастания номера n члены числовой последовательности приближаются к числу 1. Говорят, что 1 – предел этой числовой последовательности. Точно так же в примере 2⁰) 0 – предел этой последовательности. Кратко это записывается так .

Определение. Окрестностью точки а называется любой интервал (α, β), содержащий точку а. В частности, симметричный интервал (а - ε; а + ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью точки а.

Замечание. х (а - ε; а + ε)

В общем случае, если последовательность {x_n}имеет своим пределом число а, то это записывают так .

Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера n=N,N+1,N+2, …все члены последовательности попадают в ε-окрестность точки а. (ε – достаточно малое положительное число) или

Последовательности 3⁰),4⁰) не имеют предела (расходятся). Последовательность, которая имеет предел – сходится.

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается:

В этом случае говорят, что последовательность {x_n} сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу, т.е x_n ® a; x_n ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Замечание. Говорят, что непрерывная переменная х → а, если эту переменную можно представить как бесконечное число числовых последовательностей, каждая из которых имеет пределом число а.

Переменная х стремится к а слева (справа), если все члены последовательностей, имеющих пределом число а,

х → а -0

х → а +0

Переменная х → +∞, если для любого сколь угодно большого М>0 найдется х, начиная с которого все следующие значения х будут больше М : х> М и х → -∞, если для любого сколь угодно большого М>0 найдется х, начиная с которого все следующие значения х будут меньше - М : х<- М. В этих случаях переменная х называется бесконечно большой.