4. Проверить невыполнимость множества дизъюнктов

{PQ, PR, QR, P}.

Решение. Используем метод резолюций. Выпишем исходное множество дизъюнктов:

Алгоритм проверки невыполнимости в общем случае не детерминирован. Мы можем выбирать S₁, S₂ и L разными способами. Например, если выбирать дизъюнкты в лексикографическом порядке возрастания их номеров, получим следующую последовательность вывода:

(5) PR (из 1 и 3),

(6) Q (из 1 и 4),

(7) PQ (из 2 и 3),

(8) R (из 2 и 4),

(9) P (из 2 и 5),

(10) R (из 3 и 6),

(11) Q (из 3 и 8),

(12) R (из 4 и 5),

(13) Q (из 4 и 7),

(14) Л (из 4 и 9).

Как видим, выбранная стратегия не оптимальна. Некоторые резольвенты лишние. Для сравнения покажем действие этого же алгоритма с минимальным количеством резолюций:

(5) Q (из 1 и 4),

(6) R (из 2 и 4),

(7) Q (из 3 и 6),

(8) Л (из 5 и 7).

Ясно, что выбранная стратегия может значительно влиять на выполнение алгоритма. Отметим два важных свойства алгоритма, не зависящих от выбранной стратегии: 1) Если множество S не содержит дизъюнктов, к которым можно применить схему резолюций, то оно выполнимо, за исключением тех случаев, когда это множество содержит пустой дизъюнкт. Интерпретация I получается заданием атома P=1 тогда и только тогда, когда P присутствует в формуле без отрицания. Например: (1) PS, (2) PD. При интерпретации P=1, S=0, D=0 (PS)(PD)=1; 2) Если алгоритм закончил работу после порождения пустого дизъюнкта, то установлена невыполнимость исходного множества дизъюнктов S.

5. Проверить невыполнимость множества дизъюнктов

S={P Q, P Q, P Q, PQ}.

Решение.

(5) Q (из 1 и 2),

(6) Q (из 3 и 4),

(7) Л (из 5 и 6).

Т.к. получен ложный дизъюнкт Л, то S невыполнимо. Указанный вывод представлен деревом на рис.6.1, которое называется деревом вывода:

PQ PQ PQ PQ

Q Q

Л

Рисунок 6.1

6. Дано следующее множество формул:

F₁: (x)(C(x)(W(x)R(x))),

F₂: (x)(C(x)O(x)),

G : (x)(O(x)R(x)).

Доказать, что G является логическим следствием F₁ и F₂.

Решение. Преобразуем F₁, F₂ и G в стандартную форму. В результате получим следующие пять дизъюнктов:

(5) O(x)R(x) из G.

Это множество дизъюнктов невыполнимо. Это можно доказать при помощи метода резолюций следующим образом. Применив подстановку ={a|x} к данному множеству дизъюнктов, получим:

(1) C(a)W(a),

(2) C(a)R(a),

(3) C(a),

(4) O(a),

(5) O(a)R(a).

(6) R(a) резольвента (3) и (2),

(7) R(a) резольвента (5) и (4),

(8) Л резольвента (7) и (6).

Таким образом, G  логическое следствие F₁ и F₂.

Контрольные вопросы и задания:

1. Определение ССФ. Алгоритм преобразования поизвольной формулы F логики первого порядка в ССФ.

2. Множество дизъюнктов. Определение r-литерного, единичного и пустого дизъюнктов.

3. Теорема 3 о противоречивости произвольной формулы F логики первого порядка и ее ССФ. Формулировка и доказательство.

4. Основная идея метода резолюций.

5. Резольвента. Лемма 1 о логическом следствии нормальной формы S.

6. Доказательство невыполнимости, основанное на принципе резолюций.

7. Метод резолюций для получения логических следствий в логике высказываний.

8. Особенности метода резолюций в логике первого порядка.

9. Унификация тернов. Стратегии вывода.

10. Найти ССФ для каждой из формул:

10.1. ((x)P(x)(y)(z)Q(y,z));

10.2. (x)((E(x,0)((y)(E(y,g(x))(z)(E(z,g(x))E(y,z)))));

10.3. ((x)P(x)(y)P(y).

11. Доказать невыполнимость множества дизъюнктов методом резолюций S={H, HPQ, PC, QC, C}.

12. Даны утверждения:

(1) PS,

(2) SU,

(3) P,

(4) U.

Доказать, используя метод резолюций, что (4) следует из (1), (2), (3).

13. Даны формулы:

F₁: (P(Q(RS))),

F₂: P,

F₃: S,

G : Q.

Выяснить используя метод резолюций, является ли G логическим следствием F₁,F₂,F₃.

14. Для формул

F₁: (x)(P(x)(y)(D(y)L(x,y))),

F₂: (x)(P(x)(y)(Q(y)L(x,y))),

G : (x)(D(x)Q(x)

доказать, что G является логическим следствием F₁ и F₂, используя метод резолюций.

15. Пусть ={a|x,b|y,g(x,y)|z}  подстановка, и E=P(h(x,y)). Найти E.

16. С помощью резолюций докажите, что (QP) есть логическое следствие (PQ).

17. Пусть S={PQR, PR, QR, R}. Доказать противоречивость множества S, используя метод резолюций.

43